Theorem bdophsi 32577

Description: The sum of two bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdophsi	⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdophsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 32342	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 32342	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnophsi 32482	. 2 ⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp
8		bdopf 32343	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
10		bdopf 32343	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
11	4, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
12	9, 11	hoaddcli 32249	. . . 4 ⊢ (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
13		nmopxr 32347	. . . 4 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*)
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*
15		nmopre 32351	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
16	1, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
17		nmopre 32351	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
18	4, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
19	16, 18	readdcli 11248	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
20		nmopgtmnf 32349	. . . 4 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)))
21	12, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇))
22	1, 4	nmoptrii 32575	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇))
23		xrre 13221	. . 3 ⊢ ((((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)))) → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ)
24	14, 19, 21, 22, 23	mp4an 706	. 2 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ
25		elbdop2 32352	. 2 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ))
26	7, 24, 25	mpbir2an 724	1 ⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123   + caddc 11127  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   ℋchba 31400   +_op chos 31419  norm_opcnop 31426  LinOpclo 31428  BndLinOpcbo 31429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-hilex 31480  ax-hfvadd 31481  ax-hvcom 31482  ax-hvass 31483  ax-hv0cl 31484  ax-hvaddid 31485  ax-hfvmul 31486  ax-hvmulid 31487  ax-hvmulass 31488  ax-hvdistr1 31489  ax-hvdistr2 31490  ax-hvmul0 31491  ax-hfi 31560  ax-his1 31563  ax-his2 31564  ax-his3 31565  ax-his4 31566

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-grpo 30974  df-gid 30975  df-ablo 31026  df-vc 31040  df-nv 31073  df-va 31076  df-ba 31077  df-sm 31078  df-0v 31079  df-nmcv 31081  df-hnorm 31449  df-hba 31450  df-hvsub 31452  df-hosum 32211  df-nmop 32320  df-lnop 32322  df-bdop 32323

This theorem is used by:  bdophdi  32578  nmoptri2i  32580  unierri  32585