Theorem bdophsi 32245

Description: The sum of two bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdophsi	⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdophsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 32010	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 32010	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnophsi 32150	. 2 ⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp
8		bdopf 32011	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
10		bdopf 32011	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
11	4, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
12	9, 11	hoaddcli 31917	. . . 4 ⊢ (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
13		nmopxr 32015	. . . 4 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*)
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*
15		nmopre 32019	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
16	1, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
17		nmopre 32019	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
18	4, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
19	16, 18	readdcli 11194	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
20		nmopgtmnf 32017	. . . 4 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)))
21	12, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇))
22	1, 4	nmoptrii 32243	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇))
23		xrre 13169	. . 3 ⊢ ((((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)))) → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ)
24	14, 19, 21, 22, 23	mp4an 703	. 2 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ
25		elbdop2 32020	. 2 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ))
26	7, 24, 25	mpbir2an 721	1 ⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069   + caddc 11073  -∞cmnf 11211  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214   ℋchba 31068   +_op chos 31087  norm_opcnop 31094  LinOpclo 31096  BndLinOpcbo 31097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-hilex 31148  ax-hfvadd 31149  ax-hvcom 31150  ax-hvass 31151  ax-hv0cl 31152  ax-hvaddid 31153  ax-hfvmul 31154  ax-hvmulid 31155  ax-hvmulass 31156  ax-hvdistr1 31157  ax-hvdistr2 31158  ax-hvmul0 31159  ax-hfi 31228  ax-his1 31231  ax-his2 31232  ax-his3 31233  ax-his4 31234

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-grpo 30642  df-gid 30643  df-ablo 30694  df-vc 30708  df-nv 30741  df-va 30744  df-ba 30745  df-sm 30746  df-0v 30747  df-nmcv 30749  df-hnorm 31117  df-hba 31118  df-hvsub 31120  df-hosum 31879  df-nmop 31988  df-lnop 31990  df-bdop 31991

This theorem is referenced by:  bdophdi  32246  nmoptri2i  32248  unierri  32253