HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bdophsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bdophsi 31983
Description: The sum of two bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
bdophsi (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdophsi
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . 4 𝑆 ∈ BndLinOp
2 bdopln 31748 . . . 4 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑆 ∈ LinOp
4 nmoptri.2 . . . 4 𝑇 ∈ BndLinOp
5 bdopln 31748 . . . 4 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
64, 5ax-mp 5 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
73, 6lnophsi 31888 . 2 (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp
8 bdopf 31749 . . . . . 6 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
91, 8ax-mp 5 . . . . 5 𝑆: ℋ⟶ ℋ
10 bdopf 31749 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
114, 10ax-mp 5 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
129, 11hoaddcli 31655 . . . 4 (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
13 nmopxr 31753 . . . 4 ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*)
1412, 13ax-mp 5 . . 3 (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*
15 nmopre 31757 . . . . 5 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
161, 15ax-mp 5 . . . 4 (normop𝑆) ∈ ℝ
17 nmopre 31757 . . . . 5 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
184, 17ax-mp 5 . . . 4 (normop𝑇) ∈ ℝ
1916, 18readdcli 11266 . . 3 ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ
20 nmopgtmnf 31755 . . . 4 ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)))
2112, 20ax-mp 5 . . 3 -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇))
221, 4nmoptrii 31981 . . 3 (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))
23 xrre 13188 . . 3 ((((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)))) → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ)
2414, 19, 21, 22, 23mp4an 691 . 2 (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ
25 elbdop2 31758 . 2 ((𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ))
267, 24, 25mpbir2an 709 1 (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098   class class class wbr 5149  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11144   + caddc 11148  -∞cmnf 11283  *cxr 11284   < clt 11285  cle 11286  chba 30806   +op chos 30825  normopcnop 30832  LinOpclo 30834  BndLinOpcbo 30835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-hilex 30886  ax-hfvadd 30887  ax-hvcom 30888  ax-hvass 30889  ax-hv0cl 30890  ax-hvaddid 30891  ax-hfvmul 30892  ax-hvmulid 30893  ax-hvmulass 30894  ax-hvdistr1 30895  ax-hvdistr2 30896  ax-hvmul0 30897  ax-hfi 30966  ax-his1 30969  ax-his2 30970  ax-his3 30971  ax-his4 30972
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9472  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-grpo 30380  df-gid 30381  df-ablo 30432  df-vc 30446  df-nv 30479  df-va 30482  df-ba 30483  df-sm 30484  df-0v 30485  df-nmcv 30487  df-hnorm 30855  df-hba 30856  df-hvsub 30858  df-hosum 31617  df-nmop 31726  df-lnop 31728  df-bdop 31729
This theorem is referenced by:  bdophdi  31984  nmoptri2i  31986  unierri  31991
  Copyright terms: Public domain W3C validator