HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bdophsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bdophsi 29654
Description: The sum of two bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
bdophsi (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdophsi
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . 4 𝑆 ∈ BndLinOp
2 bdopln 29419 . . . 4 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑆 ∈ LinOp
4 nmoptri.2 . . . 4 𝑇 ∈ BndLinOp
5 bdopln 29419 . . . 4 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
64, 5ax-mp 5 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
73, 6lnophsi 29559 . 2 (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp
8 bdopf 29420 . . . . . 6 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
91, 8ax-mp 5 . . . . 5 𝑆: ℋ⟶ ℋ
10 bdopf 29420 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
114, 10ax-mp 5 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
129, 11hoaddcli 29326 . . . 4 (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
13 nmopxr 29424 . . . 4 ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*)
1412, 13ax-mp 5 . . 3 (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*
15 nmopre 29428 . . . . 5 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
161, 15ax-mp 5 . . . 4 (normop𝑆) ∈ ℝ
17 nmopre 29428 . . . . 5 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
184, 17ax-mp 5 . . . 4 (normop𝑇) ∈ ℝ
1916, 18readdcli 10455 . . 3 ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ
20 nmopgtmnf 29426 . . . 4 ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)))
2112, 20ax-mp 5 . . 3 -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇))
221, 4nmoptrii 29652 . . 3 (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))
23 xrre 12379 . . 3 ((((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)))) → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ)
2414, 19, 21, 22, 23mp4an 680 . 2 (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ
25 elbdop2 29429 . 2 ((𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ))
267, 24, 25mpbir2an 698 1 (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2050   class class class wbr 4929  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  cr 10334   + caddc 10338  -∞cmnf 10472  *cxr 10473   < clt 10474  cle 10475  chba 28475   +op chos 28494  normopcnop 28501  LinOpclo 28503  BndLinOpcbo 28504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-hilex 28555  ax-hfvadd 28556  ax-hvcom 28557  ax-hvass 28558  ax-hv0cl 28559  ax-hvaddid 28560  ax-hfvmul 28561  ax-hvmulid 28562  ax-hvmulass 28563  ax-hvdistr1 28564  ax-hvdistr2 28565  ax-hvmul0 28566  ax-hfi 28635  ax-his1 28638  ax-his2 28639  ax-his3 28640  ax-his4 28641
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-grpo 28047  df-gid 28048  df-ablo 28099  df-vc 28113  df-nv 28146  df-va 28149  df-ba 28150  df-sm 28151  df-0v 28152  df-nmcv 28154  df-hnorm 28524  df-hba 28525  df-hvsub 28527  df-hosum 29288  df-nmop 29397  df-lnop 29399  df-bdop 29400
This theorem is referenced by:  bdophdi  29655  nmoptri2i  29657  unierri  29662
  Copyright terms: Public domain W3C validator