Theorem bdophsi 32058

Description: The sum of two bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdophsi	⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdophsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 31823	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 31823	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnophsi 31963	. 2 ⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp
8		bdopf 31824	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
10		bdopf 31824	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
11	4, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
12	9, 11	hoaddcli 31730	. . . 4 ⊢ (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
13		nmopxr 31828	. . . 4 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*)
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*
15		nmopre 31832	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
16	1, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
17		nmopre 31832	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
18	4, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
19	16, 18	readdcli 11149	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
20		nmopgtmnf 31830	. . . 4 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)))
21	12, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇))
22	1, 4	nmoptrii 32056	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇))
23		xrre 13089	. . 3 ⊢ ((((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)))) → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ)
24	14, 19, 21, 22, 23	mp4an 693	. 2 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ
25		elbdop2 31833	. 2 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ))
26	7, 24, 25	mpbir2an 711	1 ⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027   + caddc 11031  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   ℋchba 30881   +_op chos 30900  norm_opcnop 30907  LinOpclo 30909  BndLinOpcbo 30910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-hilex 30961  ax-hfvadd 30962  ax-hvcom 30963  ax-hvass 30964  ax-hv0cl 30965  ax-hvaddid 30966  ax-hfvmul 30967  ax-hvmulid 30968  ax-hvmulass 30969  ax-hvdistr1 30970  ax-hvdistr2 30971  ax-hvmul0 30972  ax-hfi 31041  ax-his1 31044  ax-his2 31045  ax-his3 31046  ax-his4 31047

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-grpo 30455  df-gid 30456  df-ablo 30507  df-vc 30521  df-nv 30554  df-va 30557  df-ba 30558  df-sm 30559  df-0v 30560  df-nmcv 30562  df-hnorm 30930  df-hba 30931  df-hvsub 30933  df-hosum 31692  df-nmop 31801  df-lnop 31803  df-bdop 31804

This theorem is referenced by:  bdophdi  32059  nmoptri2i  32061  unierri  32066