Theorem bdophsi 32171

Description: The sum of two bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdophsi	⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdophsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 31936	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 31936	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnophsi 32076	. 2 ⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp
8		bdopf 31937	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
10		bdopf 31937	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
11	4, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
12	9, 11	hoaddcli 31843	. . . 4 ⊢ (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
13		nmopxr 31941	. . . 4 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*)
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*
15		nmopre 31945	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
16	1, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
17		nmopre 31945	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
18	4, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
19	16, 18	readdcli 11147	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
20		nmopgtmnf 31943	. . . 4 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)))
21	12, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇))
22	1, 4	nmoptrii 32169	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇))
23		xrre 13084	. . 3 ⊢ ((((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)))) → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ)
24	14, 19, 21, 22, 23	mp4an 693	. 2 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ
25		elbdop2 31946	. 2 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ))
26	7, 24, 25	mpbir2an 711	1 ⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025   + caddc 11029  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167   ℋchba 30994   +_op chos 31013  norm_opcnop 31020  LinOpclo 31022  BndLinOpcbo 31023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvmulass 31082  ax-hvdistr1 31083  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his1 31157  ax-his2 31158  ax-his3 31159  ax-his4 31160

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ablo 30620  df-vc 30634  df-nv 30667  df-va 30670  df-ba 30671  df-sm 30672  df-0v 30673  df-nmcv 30675  df-hnorm 31043  df-hba 31044  df-hvsub 31046  df-hosum 31805  df-nmop 31914  df-lnop 31916  df-bdop 31917

This theorem is referenced by:  bdophdi  32172  nmoptri2i  32174  unierri  32179