Theorem bdophsi 32025

Description: The sum of two bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdophsi	⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdophsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 31790	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 31790	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnophsi 31930	. 2 ⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp
8		bdopf 31791	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
10		bdopf 31791	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
11	4, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
12	9, 11	hoaddcli 31697	. . . 4 ⊢ (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
13		nmopxr 31795	. . . 4 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*)
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ*
15		nmopre 31799	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
16	1, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
17		nmopre 31799	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
18	4, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
19	16, 18	readdcli 11189	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
20		nmopgtmnf 31797	. . . 4 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)))
21	12, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ -∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇))
22	1, 4	nmoptrii 32023	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇))
23		xrre 13129	. . 3 ⊢ ((((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) + (normop‘𝑇)))) → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ)
24	14, 19, 21, 22, 23	mp4an 693	. 2 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ
25		elbdop2 31800	. 2 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp ↔ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp ∧ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ))
26	7, 24, 25	mpbir2an 711	1 ⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067   + caddc 11071  -∞cmnf 11206  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209   ℋchba 30848   +_op chos 30867  norm_opcnop 30874  LinOpclo 30876  BndLinOpcbo 30877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvcom 30930  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvmulass 30936  ax-hvdistr1 30937  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013  ax-his4 31014

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-nmcv 30529  df-hnorm 30897  df-hba 30898  df-hvsub 30900  df-hosum 31659  df-nmop 31768  df-lnop 31770  df-bdop 31771

This theorem is referenced by:  bdophdi  32026  nmoptri2i  32028  unierri  32033