HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmophmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmophmi 31284
Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmophm.1 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmophmi (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))

Proof of Theorem nmophmi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmophm.1 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
2 bdopf 31115 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
4 homval 30994 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
53, 4mp3an2 1450 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
65fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
73ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
8 norm-iii 30393 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
97, 8sylan2 594 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
106, 9eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1110adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
12 normcl 30378 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
137, 12syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
1413ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
15 abscl 15225 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
16 absge0 15234 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
1715, 16jca 513 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด)))
1817ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด)))
19 nmoplb 31160 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
203, 19mp3an1 1449 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
2120adantll 713 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
22 nmopre 31123 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
24 lemul2a 12069 . . . . . . . 8 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
2523, 24mp3anl2 1457 . . . . . . 7 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
2614, 18, 21, 25syl21anc 837 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
2711, 26eqbrtrd 5171 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
2827ex 414 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
2928ralrimiva 3147 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
30 homulcl 31012 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
313, 30mpan2 690 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
32 remulcl 11195 . . . . . 6 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
3315, 23, 32sylancl 587 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
3433rexrd 11264 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„*)
35 nmopub 31161 . . . 4 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))))
3631, 34, 35syl2anc 585 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))))
3729, 36mpbird 257 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
38 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜0))
39 abs0 15232 . . . . . . . 8 (absโ€˜0) = 0
4038, 39eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ (absโ€˜๐ด) = 0)
4140oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = (0 ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
4223recni 11228 . . . . . . 7 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
4342mul02i 11403 . . . . . 6 (0 ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0
4441, 43eqtrdi 2789 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0)
4544adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0)
46 nmopge0 31164 . . . . . 6 ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
4731, 46syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
4847adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด = 0) โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
4945, 48eqbrtrd 5171 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
50 nmoplb 31160 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5131, 50syl3an1 1164 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
52513expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5311, 52eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5453adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5513adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
56 nmopxr 31119 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„*)
5731, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„*)
58 nmopgtmnf 31121 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ -โˆž < (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5931, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -โˆž < (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
60 xrre 13148 . . . . . . . . . . . 12 ((((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„* โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„) โˆง (-โˆž < (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆง (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))) โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6157, 33, 59, 37, 60syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6315ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
64 absgt0 15271 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” 0 < (absโ€˜๐ด)))
6564biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 < (absโ€˜๐ด))
6665adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ 0 < (absโ€˜๐ด))
67 lemuldiv2 12095 . . . . . . . . . 10 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ด))) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
6855, 62, 63, 66, 67syl112anc 1375 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
6968adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
7054, 69mpbid 231 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)))
7170ex 414 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
7271ralrimiva 3147 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
7361adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
7415adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
75 abs00 15236 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) = 0 โ†” ๐ด = 0))
7675necon3bid 2986 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0))
7776biimpar 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰  0)
7873, 74, 77redivcld 12042 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
7978rexrd 11264 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„*)
80 nmopub 31161 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)))))
813, 79, 80sylancr 588 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)))))
8272, 81mpbird 257 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)))
8323a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
84 lemuldiv2 12095 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ด))) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
8583, 73, 74, 65, 84syl112anc 1375 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
8682, 85mpbird 257 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
8749, 86pm2.61dane 3030 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
8861, 33letri3d 11356 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))))
8937, 87, 88mpbir2and 712 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062   class class class wbr 5149  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115  -โˆžcmnf 11246  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  abscabs 15181   โ„‹chba 30172   ยทโ„Ž csm 30174  normโ„Žcno 30176   ยทop chot 30192  normopcnop 30198  BndLinOpcbo 30201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-homul 30984  df-nmop 31092  df-lnop 31094  df-bdop 31095
This theorem is referenced by:  bdophmi  31285
  Copyright terms: Public domain W3C validator