HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmophmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmophmi 31322
Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmophm.1 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmophmi (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))

Proof of Theorem nmophmi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmophm.1 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
2 bdopf 31153 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
4 homval 31032 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
53, 4mp3an2 1449 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
65fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
73ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
8 norm-iii 30431 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
97, 8sylan2 593 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
106, 9eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1110adantr 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
12 normcl 30416 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
137, 12syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
1413ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
15 abscl 15227 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
16 absge0 15236 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
1715, 16jca 512 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด)))
1817ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด)))
19 nmoplb 31198 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
203, 19mp3an1 1448 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
2120adantll 712 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
22 nmopre 31161 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
24 lemul2a 12071 . . . . . . . 8 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
2523, 24mp3anl2 1456 . . . . . . 7 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
2614, 18, 21, 25syl21anc 836 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
2711, 26eqbrtrd 5170 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
2827ex 413 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
2928ralrimiva 3146 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
30 homulcl 31050 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
313, 30mpan2 689 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
32 remulcl 11197 . . . . . 6 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
3315, 23, 32sylancl 586 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
3433rexrd 11266 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„*)
35 nmopub 31199 . . . 4 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))))
3631, 34, 35syl2anc 584 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))))
3729, 36mpbird 256 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
38 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜0))
39 abs0 15234 . . . . . . . 8 (absโ€˜0) = 0
4038, 39eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ (absโ€˜๐ด) = 0)
4140oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = (0 ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
4223recni 11230 . . . . . . 7 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
4342mul02i 11405 . . . . . 6 (0 ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0
4441, 43eqtrdi 2788 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0)
4544adantl 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0)
46 nmopge0 31202 . . . . . 6 ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
4731, 46syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
4847adantr 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด = 0) โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
4945, 48eqbrtrd 5170 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
50 nmoplb 31198 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5131, 50syl3an1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
52513expa 1118 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5311, 52eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5453adantllr 717 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5513adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
56 nmopxr 31157 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„*)
5731, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„*)
58 nmopgtmnf 31159 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ -โˆž < (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5931, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -โˆž < (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
60 xrre 13150 . . . . . . . . . . . 12 ((((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„* โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„) โˆง (-โˆž < (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆง (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))) โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6157, 33, 59, 37, 60syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6261ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6315ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
64 absgt0 15273 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” 0 < (absโ€˜๐ด)))
6564biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 < (absโ€˜๐ด))
6665adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ 0 < (absโ€˜๐ด))
67 lemuldiv2 12097 . . . . . . . . . 10 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ด))) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
6855, 62, 63, 66, 67syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
6968adantr 481 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
7054, 69mpbid 231 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)))
7170ex 413 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
7271ralrimiva 3146 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
7361adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
7415adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
75 abs00 15238 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) = 0 โ†” ๐ด = 0))
7675necon3bid 2985 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0))
7776biimpar 478 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰  0)
7873, 74, 77redivcld 12044 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
7978rexrd 11266 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„*)
80 nmopub 31199 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)))))
813, 79, 80sylancr 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)))))
8272, 81mpbird 256 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)))
8323a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
84 lemuldiv2 12097 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ด))) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
8583, 73, 74, 65, 84syl112anc 1374 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
8682, 85mpbird 256 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
8749, 86pm2.61dane 3029 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
8861, 33letri3d 11358 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))))
8937, 87, 88mpbir2and 711 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5148  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  -โˆžcmnf 11248  โ„*cxr 11249   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   / cdiv 11873  abscabs 15183   โ„‹chba 30210   ยทโ„Ž csm 30212  normโ„Žcno 30214   ยทop chot 30230  normopcnop 30236  BndLinOpcbo 30239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-nmcv 29891  df-hnorm 30259  df-hba 30260  df-hvsub 30262  df-homul 31022  df-nmop 31130  df-lnop 31132  df-bdop 31133
This theorem is referenced by:  bdophmi  31323
  Copyright terms: Public domain W3C validator