Theorem nmophmi 31966

Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmophm.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmophmi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))

Proof of Theorem nmophmi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmophm.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		bdopf 31797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		homval 31676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
5	3, 4	mp3an2 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
6	5	fveq2d 6864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘(𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
7	3	ffvelcdmi 7057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
8		norm-iii 31075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
9	7, 8	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
10	6, 9	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
12		normcl 31060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
13	7, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
15		abscl 15250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
16		absge0 15259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
17	15, 16	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
19		nmoplb 31842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
20	3, 19	mp3an1 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
21	20	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
22		nmopre 31805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
24		lemul2a 12043	. . . . . . . 8 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
25	23, 24	mp3anl2 1458	. . . . . . 7 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
26	14, 18, 21, 25	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
27	11, 26	eqbrtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
28	27	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇))))
29	28	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇))))
30		homulcl 31694	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
31	3, 30	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
32		remulcl 11159	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
33	15, 23, 32	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
34	33	rexrd 11230	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*)
35		nmopub 31843	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))))
36	31, 34, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))))
37	29, 36	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
38		fveq2 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
39		abs0 15257	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
40	38, 39	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
41	40	oveq1d 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) = (0 · (normop‘𝑇)))
42	23	recni 11194	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
43	42	mul02i 11369	. . . . . 6 ⊢ (0 · (normop‘𝑇)) = 0
44	41, 43	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) = 0)
45	44	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) = 0)
46		nmopge0 31846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
47	31, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
49	45, 48	eqbrtrd 5131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
50		nmoplb 31842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
51	31, 50	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
52	51	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
53	11, 52	eqbrtrrd 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
54	53	adantllr 719	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
55	13	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
56		nmopxr 31801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ*)
57	31, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ*)
58		nmopgtmnf 31803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
59	31, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
60		xrre 13135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
61	57, 33, 59, 37, 60	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
62	61	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
63	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
64		absgt0 15297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐴)))
65	64	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝐴))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 < (abs‘𝐴))
67		lemuldiv2 12070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴))) → (((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
68	55, 62, 63, 66, 67	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
69	68	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
70	54, 69	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))
71	70	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
72	71	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
73	61	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
74	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
75		abs00 15261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
76	75	necon3bid 2970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
77	76	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
78	73, 74, 77	redivcld 12016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
79	78	rexrd 11230	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ*)
80		nmopub 31843	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))))
81	3, 79, 80	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))))
82	72, 81	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))
83	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
84		lemuldiv2 12070	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴))) → (((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
85	83, 73, 74, 65, 84	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
86	82, 85	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
87	49, 86	pm2.61dane 3013	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
88	61, 33	letri3d 11322	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ↔ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∧ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))))
89	37, 87, 88	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   class class class wbr 5109  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   · cmul 11079  -∞cmnf 11212  ℝ^*cxr 11213   < clt 11214   ≤ cle 11215   / cdiv 11841  abscabs 15206   ℋchba 30854   ·_ℎ csm 30856  norm_ℎcno 30858   ·_op chot 30874  norm_opcnop 30880  BndLinOpcbo 30883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-hilex 30934  ax-hfvadd 30935  ax-hvcom 30936  ax-hvass 30937  ax-hv0cl 30938  ax-hvaddid 30939  ax-hfvmul 30940  ax-hvmulid 30941  ax-hvmulass 30942  ax-hvdistr1 30943  ax-hvdistr2 30944  ax-hvmul0 30945  ax-hfi 31014  ax-his1 31017  ax-his2 31018  ax-his3 31019  ax-his4 31020

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-grpo 30428  df-gid 30429  df-ablo 30480  df-vc 30494  df-nv 30527  df-va 30530  df-ba 30531  df-sm 30532  df-0v 30533  df-nmcv 30535  df-hnorm 30903  df-hba 30904  df-hvsub 30906  df-homul 31666  df-nmop 31774  df-lnop 31776  df-bdop 31777

This theorem is referenced by:  bdophmi  31967