Theorem nmophmi 32055

Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmophm.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmophmi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))

Proof of Theorem nmophmi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmophm.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		bdopf 31886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		homval 31765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
5	3, 4	mp3an2 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
6	5	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘(𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
7	3	ffvelcdmi 7026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
8		norm-iii 31164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
9	7, 8	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
10	6, 9	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
12		normcl 31149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
13	7, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
15		abscl 15199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
16		absge0 15208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
17	15, 16	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
19		nmoplb 31931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
20	3, 19	mp3an1 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
21	20	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
22		nmopre 31894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
24		lemul2a 11994	. . . . . . . 8 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
25	23, 24	mp3anl2 1458	. . . . . . 7 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
26	14, 18, 21, 25	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
27	11, 26	eqbrtrd 5118	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
28	27	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇))))
29	28	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇))))
30		homulcl 31783	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
31	3, 30	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
32		remulcl 11109	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
33	15, 23, 32	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
34	33	rexrd 11180	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*)
35		nmopub 31932	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))))
36	31, 34, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))))
37	29, 36	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
38		fveq2 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
39		abs0 15206	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
40	38, 39	eqtrdi 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
41	40	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) = (0 · (normop‘𝑇)))
42	23	recni 11144	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
43	42	mul02i 11320	. . . . . 6 ⊢ (0 · (normop‘𝑇)) = 0
44	41, 43	eqtrdi 2785	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) = 0)
45	44	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) = 0)
46		nmopge0 31935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
47	31, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
49	45, 48	eqbrtrd 5118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
50		nmoplb 31931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
51	31, 50	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
52	51	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
53	11, 52	eqbrtrrd 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
54	53	adantllr 719	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
55	13	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
56		nmopxr 31890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ*)
57	31, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ*)
58		nmopgtmnf 31892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
59	31, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
60		xrre 13082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
61	57, 33, 59, 37, 60	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
62	61	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
63	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
64		absgt0 15246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐴)))
65	64	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝐴))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 < (abs‘𝐴))
67		lemuldiv2 12021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴))) → (((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
68	55, 62, 63, 66, 67	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
69	68	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
70	54, 69	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))
71	70	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
72	71	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
73	61	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
74	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
75		abs00 15210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
76	75	necon3bid 2974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
77	76	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
78	73, 74, 77	redivcld 11967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
79	78	rexrd 11180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ*)
80		nmopub 31932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))))
81	3, 79, 80	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))))
82	72, 81	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))
83	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
84		lemuldiv2 12021	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴))) → (((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
85	83, 73, 74, 65, 84	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
86	82, 85	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
87	49, 86	pm2.61dane 3017	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
88	61, 33	letri3d 11273	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ↔ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∧ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))))
89	37, 87, 88	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   class class class wbr 5096  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   · cmul 11029  -∞cmnf 11162  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165   / cdiv 11792  abscabs 15155   ℋchba 30943   ·_ℎ csm 30945  norm_ℎcno 30947   ·_op chot 30963  norm_opcnop 30969  BndLinOpcbo 30972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hvcom 31025  ax-hvass 31026  ax-hv0cl 31027  ax-hvaddid 31028  ax-hfvmul 31029  ax-hvmulid 31030  ax-hvmulass 31031  ax-hvdistr1 31032  ax-hvdistr2 31033  ax-hvmul0 31034  ax-hfi 31103  ax-his1 31106  ax-his2 31107  ax-his3 31108  ax-his4 31109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-grpo 30517  df-gid 30518  df-ablo 30569  df-vc 30583  df-nv 30616  df-va 30619  df-ba 30620  df-sm 30621  df-0v 30622  df-nmcv 30624  df-hnorm 30992  df-hba 30993  df-hvsub 30995  df-homul 31755  df-nmop 31863  df-lnop 31865  df-bdop 31866

This theorem is referenced by:  bdophmi  32056