HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmophmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmophmi 30393
Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmophm.1 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmophmi (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)))

Proof of Theorem nmophmi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmophm.1 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ BndLinOp
2 bdopf 30224 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4 homval 30103 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
53, 4mp3an2 1448 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
65fveq2d 6778 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = (norm‘(𝐴 · (𝑇𝑥))))
73ffvelrni 6960 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
8 norm-iii 29502 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 · (𝑇𝑥))) = ((abs‘𝐴) · (norm‘(𝑇𝑥))))
97, 8sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 · (𝑇𝑥))) = ((abs‘𝐴) · (norm‘(𝑇𝑥))))
106, 9eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((abs‘𝐴) · (norm‘(𝑇𝑥))))
1110adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((abs‘𝐴) · (norm‘(𝑇𝑥))))
12 normcl 29487 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
137, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1413ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
15 abscl 14990 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
16 absge0 14999 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
1715, 16jca 512 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
1817ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
19 nmoplb 30269 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
203, 19mp3an1 1447 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
2120adantll 711 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
22 nmopre 30232 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normop𝑇) ∈ ℝ
24 lemul2a 11830 . . . . . . . 8 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((abs‘𝐴) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)))
2523, 24mp3anl2 1455 . . . . . . 7 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((abs‘𝐴) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)))
2614, 18, 21, 25syl21anc 835 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)))
2711, 26eqbrtrd 5096 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)))
2827ex 413 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇))))
2928ralrimiva 3103 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇))))
30 homulcl 30121 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
313, 30mpan2 688 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
32 remulcl 10956 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ∈ ℝ)
3315, 23, 32sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ∈ ℝ)
3433rexrd 11025 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ∈ ℝ*)
35 nmopub 30270 . . . 4 (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)))))
3631, 34, 35syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)))))
3729, 36mpbird 256 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)))
38 fveq2 6774 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
39 abs0 14997 . . . . . . . 8 (abs‘0) = 0
4038, 39eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
4140oveq1d 7290 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) = (0 · (normop𝑇)))
4223recni 10989 . . . . . . 7 (normop𝑇) ∈ ℂ
4342mul02i 11164 . . . . . 6 (0 · (normop𝑇)) = 0
4441, 43eqtrdi 2794 . . . . 5 (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) = 0)
4544adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) = 0)
46 nmopge0 30273 . . . . . 6 ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
4731, 46syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
4847adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
4945, 48eqbrtrd 5096 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
50 nmoplb 30269 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
5131, 50syl3an1 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
52513expa 1117 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
5311, 52eqbrtrrd 5098 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
5453adantllr 716 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
5513adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
56 nmopxr 30228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ*)
5731, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ*)
58 nmopgtmnf 30230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
5931, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → -∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
60 xrre 12903 . . . . . . . . . . . 12 ((((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)))) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
6157, 33, 59, 37, 60syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
6261ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
6315ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
64 absgt0 15036 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐴)))
6564biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝐴))
6665adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 < (abs‘𝐴))
67 lemuldiv2 11856 . . . . . . . . . 10 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴))) → (((abs‘𝐴) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
6855, 62, 63, 66, 67syl112anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((abs‘𝐴) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
6968adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (((abs‘𝐴) · (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
7054, 69mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))
7170ex 413 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
7271ralrimiva 3103 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
7361adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
7415adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
75 abs00 15001 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
7675necon3bid 2988 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
7776biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
7873, 74, 77redivcld 11803 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
7978rexrd 11025 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ*)
80 nmopub 30270 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ*) → ((normop𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))))
813, 79, 80sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))))
8272, 81mpbird 256 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))
8323a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
84 lemuldiv2 11856 . . . . 5 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴))) → (((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normop𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
8583, 73, 74, 65, 84syl112anc 1373 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normop𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
8682, 85mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
8749, 86pm2.61dane 3032 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
8861, 33letri3d 11117 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ↔ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ∧ ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))))
8937, 87, 88mpbir2and 710 1 (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064   class class class wbr 5074  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  -∞cmnf 11007  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010   / cdiv 11632  abscabs 14945  chba 29281   · csm 29283  normcno 29285   ·op chot 29301  normopcnop 29307  BndLinOpcbo 29310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-nmcv 28962  df-hnorm 29330  df-hba 29331  df-hvsub 29333  df-homul 30093  df-nmop 30201  df-lnop 30203  df-bdop 30204
This theorem is referenced by:  bdophmi  30394
  Copyright terms: Public domain W3C validator