Theorem nmophmi 32645

Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmophm.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmophmi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))

Proof of Theorem nmophmi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmophm.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		bdopf 32476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		homval 32355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
5	3, 4	mp3an2 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
6	5	fveq2d 6897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘(𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
7	3	ffvelcdmi 7091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
8		norm-iii 31754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
9	7, 8	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
10	6, 9	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
12		normcl 31739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
13	7, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
15		abscl 15457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
16		absge0 15466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
17	15, 16	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
18	17	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
19		nmoplb 32521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
20	3, 19	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
21	20	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
22		nmopre 32484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
24		lemul2a 12182	. . . . . . . 8 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
25	23, 24	mp3anl2 1485	. . . . . . 7 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
26	14, 18, 21, 25	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
27	11, 26	eqbrtrd 5129	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
28	27	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇))))
29	28	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇))))
30		homulcl 32373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
31	3, 30	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
32		remulcl 11295	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
33	15, 23, 32	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
34	33	rexrd 11369	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*)
35		nmopub 32522	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))))
36	31, 34, 35	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))))
37	29, 36	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
38		fveq2 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
39		abs0 15464	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
40	38, 39	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
41	40	oveq1d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) = (0 · (normop‘𝑇)))
42	23	recni 11333	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
43	42	mul02i 11509	. . . . . 6 ⊢ (0 · (normop‘𝑇)) = 0
44	41, 43	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) = 0)
45	44	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) = 0)
46		nmopge0 32525	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
47	31, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
48	47	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
49	45, 48	eqbrtrd 5129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
50		nmoplb 32521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
51	31, 50	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
52	51	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
53	11, 52	eqbrtrrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
54	53	adantllr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
55	13	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
56		nmopxr 32480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ*)
57	31, 56	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ*)
58		nmopgtmnf 32482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
59	31, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
60		xrre 13309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
61	57, 33, 59, 37, 60	syl22anc 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
62	61	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
63	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
64		absgt0 15504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐴)))
65	64	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝐴))
66	65	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 < (abs‘𝐴))
67		lemuldiv2 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴))) → (((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
68	55, 62, 63, 66, 67	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
69	68	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
70	54, 69	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))
71	70	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
72	71	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
73	61	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
74	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
75		abs00 15468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
76	75	necon3bid 3002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
77	76	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
78	73, 74, 77	redivcld 12155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
79	78	rexrd 11369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ*)
80		nmopub 32522	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))))
81	3, 79, 80	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))))
82	72, 81	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))
83	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
84		lemuldiv2 12208	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴))) → (((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
85	83, 73, 74, 65, 84	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
86	82, 85	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
87	49, 86	pm2.61dane 3045	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
88	61, 33	letri3d 11462	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ↔ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∧ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))))
89	37, 87, 88	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   class class class wbr 5105  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   · cmul 11215  -∞cmnf 11351  ℝ^*cxr 11352   < clt 11353   ≤ cle 11354   / cdiv 11983  abscabs 15413   ℋchba 31533   ·_ℎ csm 31535  norm_ℎcno 31537   ·_op chot 31553  norm_opcnop 31559  BndLinOpcbo 31562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-hilex 31613  ax-hfvadd 31614  ax-hvcom 31615  ax-hvass 31616  ax-hv0cl 31617  ax-hvaddid 31618  ax-hfvmul 31619  ax-hvmulid 31620  ax-hvmulass 31621  ax-hvdistr1 31622  ax-hvdistr2 31623  ax-hvmul0 31624  ax-hfi 31693  ax-his1 31696  ax-his2 31697  ax-his3 31698  ax-his4 31699

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-grpo 31107  df-gid 31108  df-ablo 31159  df-vc 31173  df-nv 31206  df-va 31209  df-ba 31210  df-sm 31211  df-0v 31212  df-nmcv 31214  df-hnorm 31582  df-hba 31583  df-hvsub 31585  df-homul 32345  df-nmop 32453  df-lnop 32455  df-bdop 32456

This theorem is used by:  bdophmi  32646