HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmophmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmophmi 31022
Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmophm.1 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmophmi (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))

Proof of Theorem nmophmi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmophm.1 . . . . . . . . . . 11 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
2 bdopf 30853 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
4 homval 30732 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
53, 4mp3an2 1450 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
65fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
73ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
8 norm-iii 30131 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
97, 8sylan2 594 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
106, 9eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1110adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
12 normcl 30116 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
137, 12syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
1413ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
15 abscl 15172 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
16 absge0 15181 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
1715, 16jca 513 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด)))
1817ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด)))
19 nmoplb 30898 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
203, 19mp3an1 1449 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
2120adantll 713 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
22 nmopre 30861 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
24 lemul2a 12018 . . . . . . . 8 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
2523, 24mp3anl2 1457 . . . . . . 7 ((((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
2614, 18, 21, 25syl21anc 837 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
2711, 26eqbrtrd 5131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
2827ex 414 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
2928ralrimiva 3140 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
30 homulcl 30750 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
313, 30mpan2 690 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
32 remulcl 11144 . . . . . 6 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
3315, 23, 32sylancl 587 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
3433rexrd 11213 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„*)
35 nmopub 30899 . . . 4 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))))
3631, 34, 35syl2anc 585 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))))
3729, 36mpbird 257 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
38 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜0))
39 abs0 15179 . . . . . . . 8 (absโ€˜0) = 0
4038, 39eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ (absโ€˜๐ด) = 0)
4140oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = (0 ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
4223recni 11177 . . . . . . 7 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
4342mul02i 11352 . . . . . 6 (0 ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0
4441, 43eqtrdi 2789 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0)
4544adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0)
46 nmopge0 30902 . . . . . 6 ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
4731, 46syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
4847adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด = 0) โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
4945, 48eqbrtrd 5131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
50 nmoplb 30898 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5131, 50syl3an1 1164 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
52513expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5311, 52eqbrtrrd 5133 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5453adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5513adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
56 nmopxr 30857 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„*)
5731, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„*)
58 nmopgtmnf 30859 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ -โˆž < (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
5931, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -โˆž < (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
60 xrre 13097 . . . . . . . . . . . 12 ((((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„* โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„) โˆง (-โˆž < (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆง (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))) โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6157, 33, 59, 37, 60syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
6315ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
64 absgt0 15218 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” 0 < (absโ€˜๐ด)))
6564biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 < (absโ€˜๐ด))
6665adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ 0 < (absโ€˜๐ด))
67 lemuldiv2 12044 . . . . . . . . . 10 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ด))) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
6855, 62, 63, 66, 67syl112anc 1375 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
6968adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
7054, 69mpbid 231 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)))
7170ex 414 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
7271ralrimiva 3140 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
7361adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
7415adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
75 abs00 15183 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) = 0 โ†” ๐ด = 0))
7675necon3bid 2985 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0))
7776biimpar 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰  0)
7873, 74, 77redivcld 11991 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
7978rexrd 11213 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„*)
80 nmopub 30899 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)))))
813, 79, 80sylancr 588 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)))))
8272, 81mpbird 257 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด)))
8323a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
84 lemuldiv2 12044 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ด))) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
8583, 73, 74, 65, 84syl112anc 1375 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ†” (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) / (absโ€˜๐ด))))
8682, 85mpbird 257 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
8749, 86pm2.61dane 3029 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))
8861, 33letri3d 11305 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” ((normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)))))
8937, 87, 88mpbir2and 712 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (normopโ€˜(๐ด ยทop ๐‘‡)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5109  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064  -โˆžcmnf 11195  โ„*cxr 11196   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820  abscabs 15128   โ„‹chba 29910   ยทโ„Ž csm 29912  normโ„Žcno 29914   ยทop chot 29930  normopcnop 29936  BndLinOpcbo 29939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-nmcv 29591  df-hnorm 29959  df-hba 29960  df-hvsub 29962  df-homul 30722  df-nmop 30830  df-lnop 30832  df-bdop 30833
This theorem is referenced by:  bdophmi  31023
  Copyright terms: Public domain W3C validator