Theorem nmophmi 32120

Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmophm.1	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmophmi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))

Proof of Theorem nmophmi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmophm.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		bdopf 31951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4		homval 31830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
5	3, 4	mp3an2 1452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
6	5	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘(𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
7	3	ffvelcdmi 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
8		norm-iii 31229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
9	7, 8	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
10	6, 9	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
12		normcl 31214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
13	7, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
15		abscl 15234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
16		absge0 15243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
17	15, 16	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
18	17	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
19		nmoplb 31996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
20	3, 19	mp3an1 1451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
21	20	adantll 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
22		nmopre 31959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
24		lemul2a 12004	. . . . . . . 8 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
25	23, 24	mp3anl2 1459	. . . . . . 7 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇)) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
26	14, 18, 21, 25	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
27	11, 26	eqbrtrd 5108	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
28	27	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇))))
29	28	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇))))
30		homulcl 31848	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
31	3, 30	mpan2 692	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
32		remulcl 11117	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
33	15, 23, 32	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
34	33	rexrd 11189	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*)
35		nmopub 31997	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))))
36	31, 34, 35	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))))
37	29, 36	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))
38		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
39		abs0 15241	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
40	38, 39	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
41	40	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) = (0 · (normop‘𝑇)))
42	23	recni 11153	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
43	42	mul02i 11329	. . . . . 6 ⊢ (0 · (normop‘𝑇)) = 0
44	41, 43	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) = 0)
45	44	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) = 0)
46		nmopge0 32000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
47	31, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → 0 ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
49	45, 48	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 = 0) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
50		nmoplb 31996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
51	31, 50	syl3an1 1164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
52	51	3expa 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
53	11, 52	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
54	53	adantllr 720	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
55	13	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
56		nmopxr 31955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ*)
57	31, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ*)
58		nmopgtmnf 31957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
59	31, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
60		xrre 13115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
61	57, 33, 59, 37, 60	syl22anc 839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
62	61	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
63	15	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
64		absgt0 15281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐴)))
65	64	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (abs‘𝐴))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 < (abs‘𝐴))
67		lemuldiv2 12031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴))) → (((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
68	55, 62, 63, 66, 67	syl112anc 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
69	68	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (((abs‘𝐴) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
70	54, 69	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))
71	70	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
72	71	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
73	61	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ)
74	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
75		abs00 15245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
76	75	necon3bid 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
77	76	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
78	73, 74, 77	redivcld 11977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
79	78	rexrd 11189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ*)
80		nmopub 31997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))))
81	3, 79, 80	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))))
82	72, 81	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴)))
83	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
84		lemuldiv2 12031	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐴))) → (((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
85	83, 73, 74, 65, 84	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ↔ (normop‘𝑇) ≤ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) / (abs‘𝐴))))
86	82, 85	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
87	49, 86	pm2.61dane 3020	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))
88	61, 33	letri3d 11282	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ↔ ((normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) ≤ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ∧ ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)))))
89	37, 87, 88	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (normop‘(𝐴 ·op 𝑇)) = ((abs‘𝐴) · (normop‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   class class class wbr 5086  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037  -∞cmnf 11171  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174   / cdiv 11801  abscabs 15190   ℋchba 31008   ·_ℎ csm 31010  norm_ℎcno 31012   ·_op chot 31028  norm_opcnop 31034  BndLinOpcbo 31037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-nmcv 30689  df-hnorm 31057  df-hba 31058  df-hvsub 31060  df-homul 31820  df-nmop 31928  df-lnop 31930  df-bdop 31931

This theorem is referenced by:  bdophmi  32121