Theorem nmoptri2i 32460

Description: Triangle-type inequality for the norms of bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmoptri2i	⊢ ((normop‘𝑆) − (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝑆 +op 𝑇))

Proof of Theorem nmoptri2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		nmoptri.2	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
3	1, 2	bdophsi 32457	. . . 4 ⊢ (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp
4		neg1cn 12207	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5	2	bdophmi 32393	. . . . 5 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (-1 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp
7	3, 6	nmoptrii 32455	. . 3 ⊢ (normop‘((𝑆 +op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) + (normop‘(-1 ·op 𝑇)))
8		bdopf 32223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
10		bdopf 32223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
12	9, 11	hoaddcli 32129	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
13	12, 11	honegsubi 32157	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑇)) = ((𝑆 +op 𝑇) −op 𝑇)
14	9, 11	hopncani 32185	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇) −op 𝑇) = 𝑆
15	13, 14	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑇)) = 𝑆
16	15	fveq2i 6884	. . 3 ⊢ (normop‘((𝑆 +op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑇))) = (normop‘𝑆)
17	11	nmopnegi 32326	. . . 4 ⊢ (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = (normop‘𝑇)
18	17	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) + (normop‘(-1 ·op 𝑇))) = ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) + (normop‘𝑇))
19	7, 16, 18	3brtr3i 5140	. 2 ⊢ (normop‘𝑆) ≤ ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) + (normop‘𝑇))
20		nmopre 32231	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
21	1, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
22		nmopre 32231	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
23	2, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
24		nmopre 32231	. . . 4 ⊢ ((𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ)
25	3, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ
26	21, 23, 25	lesubaddi 11776	. 2 ⊢ (((normop‘𝑆) − (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ↔ (normop‘𝑆) ≤ ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) + (normop‘𝑇)))
27	19, 26	mpbir 234	1 ⊢ ((normop‘𝑆) − (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘(𝑆 +op 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  ℝcr 11103  1c1 11105   + caddc 11107   ≤ cle 11248   − cmin 11445  -cneg 11446   ℋchba 31280   +_op chos 31299   ·_op chot 31300   −_op chod 31301  norm_opcnop 31306  BndLinOpcbo 31309

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10423  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183  ax-mulf 11184  ax-hilex 31360  ax-hfvadd 31361  ax-hvcom 31362  ax-hvass 31363  ax-hv0cl 31364  ax-hvaddid 31365  ax-hfvmul 31366  ax-hvmulid 31367  ax-hvmulass 31368  ax-hvdistr1 31369  ax-hvdistr2 31370  ax-hvmul0 31371  ax-hfi 31440  ax-his1 31443  ax-his2 31444  ax-his3 31445  ax-his4 31446  ax-hcompl 31563

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-mulg 19138  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-fbas 21528  df-fg 21529  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-ntr 23186  df-cls 23187  df-nei 23264  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-lm 23395  df-haus 23481  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-fil 24012  df-fm 24104  df-flim 24105  df-flf 24106  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488  df-cfil 25423  df-cau 25424  df-cmet 25425  df-grpo 30854  df-gid 30855  df-ginv 30856  df-gdiv 30857  df-ablo 30906  df-vc 30920  df-nv 30953  df-va 30956  df-ba 30957  df-sm 30958  df-0v 30959  df-vs 30960  df-nmcv 30961  df-ims 30962  df-dip 31062  df-ssp 31083  df-ph 31174  df-cbn 31224  df-hnorm 31329  df-hba 31330  df-hvsub 31332  df-hlim 31333  df-hcau 31334  df-sh 31568  df-ch 31582  df-oc 31613  df-ch0 31614  df-shs 31669  df-pjh 31756  df-hosum 32091  df-homul 32092  df-hodif 32093  df-h0op 32109  df-nmop 32200  df-lnop 32202  df-bdop 32203

This theorem is used by: (None)