Theorem bdophdi 31927

Description: The difference between two bounded linear operators is bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdophdi	⊢ (𝑆 −op 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdophdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopf 31692	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
4		nmoptri.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopf 31692	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
7	3, 6	honegsubi 31626	. 2 ⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)
8		neg1cn 12364	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	4	bdophmi 31862	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (-1 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp
11	1, 10	bdophsi 31926	. 2 ⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) ∈ BndLinOp
12	7, 11	eqeltrri 2826	1 ⊢ (𝑆 −op 𝑇) ∈ BndLinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  ⟶wf 6549  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  1c1 11147  -cneg 11483   ℋchba 30749   +_op chos 30768   ·_op chot 30769   −_op chod 30770  BndLinOpcbo 30778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hvcom 30831  ax-hvass 30832  ax-hv0cl 30833  ax-hvaddid 30834  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvmulass 30837  ax-hvdistr1 30838  ax-hvdistr2 30839  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his1 30912  ax-his2 30913  ax-his3 30914  ax-his4 30915

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-nmcv 30430  df-hnorm 30798  df-hba 30799  df-hvsub 30801  df-hosum 31560  df-homul 31561  df-hodif 31562  df-nmop 31669  df-lnop 31671  df-bdop 31672

This theorem is referenced by:  unierri  31934