HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bdophdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bdophdi 31328
Description: The difference between two bounded linear operators is bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
bdophdi (𝑆op 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdophdi
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . 4 𝑆 ∈ BndLinOp
2 bdopf 31093 . . . 4 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑆: ℋ⟶ ℋ
4 nmoptri.2 . . . 4 𝑇 ∈ BndLinOp
5 bdopf 31093 . . . 4 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
64, 5ax-mp 5 . . 3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
73, 6honegsubi 31027 . 2 (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆op 𝑇)
8 neg1cn 12322 . . . 4 -1 ∈ ℂ
94bdophmi 31263 . . . 4 (-1 ∈ ℂ → (-1 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)
108, 9ax-mp 5 . . 3 (-1 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp
111, 10bdophsi 31327 . 2 (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) ∈ BndLinOp
127, 11eqeltrri 2831 1 (𝑆op 𝑇) ∈ BndLinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wf 6536  (class class class)co 7404  cc 11104  1c1 11107  -cneg 11441  chba 30150   +op chos 30169   ·op chot 30170  op chod 30171  BndLinOpcbo 30179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvmulass 30238  ax-hvdistr1 30239  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-nmcv 29831  df-hnorm 30199  df-hba 30200  df-hvsub 30202  df-hosum 30961  df-homul 30962  df-hodif 30963  df-nmop 31070  df-lnop 31072  df-bdop 31073
This theorem is referenced by:  unierri  31335
  Copyright terms: Public domain W3C validator