Theorem bdophdi 31345

Description: The difference between two bounded linear operators is bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
bdophdi	⊢ (𝑆 −op 𝑇) ∈ BndLinOp

Proof of Theorem bdophdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopf 31110	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
4		nmoptri.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopf 31110	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
7	3, 6	honegsubi 31044	. 2 ⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) = (𝑆 −op 𝑇)
8		neg1cn 12325	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	4	bdophmi 31280	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (-1 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp
11	1, 10	bdophsi 31344	. 2 ⊢ (𝑆 +op (-1 ·op 𝑇)) ∈ BndLinOp
12	7, 11	eqeltrri 2830	1 ⊢ (𝑆 −op 𝑇) ∈ BndLinOp

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6539  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  1c1 11110  -cneg 11444   ℋchba 30167   +_op chos 30186   ·_op chot 30187   −_op chod 30188  BndLinOpcbo 30196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvdistr1 30256  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331  ax-his3 30332  ax-his4 30333

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-nmcv 29848  df-hnorm 30216  df-hba 30217  df-hvsub 30219  df-hosum 30978  df-homul 30979  df-hodif 30980  df-nmop 31087  df-lnop 31089  df-bdop 31090

This theorem is referenced by:  unierri  31352