HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bdophdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bdophdi 31854
Description: The difference between two bounded linear operators is bounded. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 ๐‘† โˆˆ BndLinOp
nmoptri.2 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
bdophdi (๐‘† โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp

Proof of Theorem bdophdi
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . 4 ๐‘† โˆˆ BndLinOp
2 bdopf 31619 . . . 4 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
4 nmoptri.2 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
5 bdopf 31619 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
64, 5ax-mp 5 . . 3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
73, 6honegsubi 31553 . 2 (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) = (๐‘† โˆ’op ๐‘‡)
8 neg1cn 12327 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
94bdophmi 31789 . . . 4 (-1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยทop ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp)
108, 9ax-mp 5 . . 3 (-1 ยทop ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp
111, 10bdophsi 31853 . 2 (๐‘† +op (-1 ยทop ๐‘‡)) โˆˆ BndLinOp
127, 11eqeltrri 2824 1 (๐‘† โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2098  โŸถwf 6532  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  1c1 11110  -cneg 11446   โ„‹chba 30676   +op chos 30695   ยทop chot 30696   โˆ’op chod 30697  BndLinOpcbo 30705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hvcom 30758  ax-hvass 30759  ax-hv0cl 30760  ax-hvaddid 30761  ax-hfvmul 30762  ax-hvmulid 30763  ax-hvmulass 30764  ax-hvdistr1 30765  ax-hvdistr2 30766  ax-hvmul0 30767  ax-hfi 30836  ax-his1 30839  ax-his2 30840  ax-his3 30841  ax-his4 30842
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-grpo 30250  df-gid 30251  df-ablo 30302  df-vc 30316  df-nv 30349  df-va 30352  df-ba 30353  df-sm 30354  df-0v 30355  df-nmcv 30357  df-hnorm 30725  df-hba 30726  df-hvsub 30728  df-hosum 31487  df-homul 31488  df-hodif 31489  df-nmop 31596  df-lnop 31598  df-bdop 31599
This theorem is referenced by:  unierri  31861
  Copyright terms: Public domain W3C validator