Theorem bj-rest0 37768

Description: An elementwise intersection on a family containing the empty set contains the empty set. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-rest0	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∅ ∈ 𝑋 → ∅ ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))

Proof of Theorem bj-rest0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		in0 4352	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
2		incom 4162	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = (∅ ∩ 𝐴)
3	1, 2	eqtr3i 2790	. . . 4 ⊢ ∅ = (∅ ∩ 𝐴)
4		0ex 5272	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5		eleq1 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ ∅ ∈ 𝑋))
6		ineq1 4166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
7	6	eqeq2d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∅ = (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ ∅ = (∅ ∩ 𝐴)))
8	5, 7	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∅ = (𝑥 ∩ 𝐴)) ↔ (∅ ∈ 𝑋 ∧ ∅ = (∅ ∩ 𝐴))))
9	4, 8	spcev 3567	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝑋 ∧ ∅ = (∅ ∩ 𝐴)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∅ = (𝑥 ∩ 𝐴)))
10	3, 9	mpan2 704	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝑋 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∅ = (𝑥 ∩ 𝐴)))
11		df-rex 3092	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∅ = (𝑥 ∩ 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∅ = (𝑥 ∩ 𝐴)))
12	10, 11	sylibr 237	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝑋 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∅ = (𝑥 ∩ 𝐴))
13		elrest 17497	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∅ ∈ (𝑋 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∅ = (𝑥 ∩ 𝐴)))
14	12, 13	imbitrrid 249	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∅ ∈ 𝑋 → ∅ ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  (class class class)co 7416   ↾_t crest 17490

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-rest 17492

This theorem is used by: (None)