Theorem brgici 19176

Description: Prove isomorphic by an explicit isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brgici	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑔 𝑆)

Proof of Theorem brgici

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4289	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brgic 19175	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
3	1, 2	sylibr 234	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑔 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∅c0 4281   class class class wbr 5089  (class class class)co 7341   GrpIso cgim 19162   ≃_𝑔 cgic 19163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-1o 8380  df-gim 19164  df-gic 19165

This theorem is referenced by:  gicref  19177  gicsym  19180  gictr  19181  gicqusker  19193  oppggic  19266  ricgic  20415  cygznlem3  21499  pconnpi1  35249  isnumbasgrplem1  43113