MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brgici Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brgici 19061
Description: Prove isomorphic by an explicit isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
brgici (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅𝑔 𝑆)

Proof of Theorem brgici
StepHypRef Expression
1 ne0i 4295 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 brgic 19060 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
31, 2sylibr 233 1 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅𝑔 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 2944  c0 4283   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358   GrpIso cgim 19048  𝑔 cgic 19049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-gim 19050  df-gic 19051
This theorem is referenced by:  gicref  19062  gicsym  19065  gictr  19066  oppggic  19143  ricgic  20181  cygznlem3  20979  pconnpi1  33834  isnumbasgrplem1  41431
  Copyright terms: Public domain W3C validator