Theorem brgici 19490

Description: Prove isomorphic by an explicit isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brgici	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑔 𝑆)

Proof of Theorem brgici

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4286	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brgic 19489	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑔 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420   GrpIso cgim 19476   ≃_𝑔 cgic 19477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8479  df-gim 19478  df-gic 19479

This theorem is used by:  gicref  19491  gicsym  19494  gictr  19495  gicqusker  19507  oppggic  19580  ricgic  20760  cygznlem3  21880  pconnpi1  36088  isnumbasgrplem1  44196