MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gictr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gictr 18198
Description: Isomorphism is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
gictr ((𝑅𝑔 𝑆𝑆𝑔 𝑇) → 𝑅𝑔 𝑇)

Proof of Theorem gictr
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 18192 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 brgic 18192 . 2 (𝑆𝑔 𝑇 ↔ (𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅)
3 n0 4190 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4 n0 4190 . . 3 ((𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇))
5 exdistrv 1915 . . . 4 (∃𝑓𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)))
6 gimco 18191 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑇))
7 brgici 18193 . . . . . . 7 ((𝑔𝑓) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑇) → 𝑅𝑔 𝑇)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) → 𝑅𝑔 𝑇)
98ancoms 451 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅𝑔 𝑇)
109exlimivv 1892 . . . 4 (∃𝑓𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅𝑔 𝑇)
115, 10sylbir 227 . . 3 ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅𝑔 𝑇)
123, 4, 11syl2anb 589 . 2 (((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅𝑔 𝑇)
131, 2, 12syl2anb 589 1 ((𝑅𝑔 𝑆𝑆𝑔 𝑇) → 𝑅𝑔 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wex 1743  wcel 2051  wne 2960  c0 4172   class class class wbr 4925  ccom 5407  (class class class)co 6974   GrpIso cgim 18180  𝑔 cgic 18181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-1o 7903  df-map 8206  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-grp 17906  df-ghm 18139  df-gim 18182  df-gic 18183
This theorem is referenced by:  gicer  18199  cyggic  20436
  Copyright terms: Public domain W3C validator