Theorem gictr 19181

Description: Isomorphism is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gictr	⊢ ((𝑅 ≃𝑔 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)

Proof of Theorem gictr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 19175	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brgic 19175	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑔 𝑇 ↔ (𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4301	. . 3 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4		n0 4301	. . 3 ⊢ ((𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇))
5		exdistrv 1956	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)))
6		gimco 19173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑇))
7		brgici 19176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)
9	8	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)
10	9	exlimivv 1933	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)
11	5, 10	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)
12	3, 4, 11	syl2anb 598	. 2 ⊢ (((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)
13	1, 2, 12	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑔 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∅c0 4281   class class class wbr 5089   ∘ ccom 5618  (class class class)co 7341   GrpIso cgim 19162   ≃_𝑔 cgic 19163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-1o 8380  df-map 8747  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-grp 18841  df-ghm 19118  df-gim 19164  df-gic 19165

This theorem is referenced by:  gicer  19182  cyggic  21502