Theorem gictr 19337

Description: Isomorphism is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gictr	⊢ ((𝑅 ≃𝑔 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)

Proof of Theorem gictr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 19331	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brgic 19331	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑔 𝑇 ↔ (𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4308	. . 3 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4		n0 4308	. . 3 ⊢ ((𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇))
5		exdistrv 1978	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)))
6		gimco 19329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑇))
7		brgici 19332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)
9	8	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)
10	9	exlimivv 1955	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)
11	5, 10	sylbir 238	. . 3 ⊢ ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)
12	3, 4, 11	syl2anb 609	. 2 ⊢ (((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)
13	1, 2, 12	syl2anb 609	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑔 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔 𝑇) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∅c0 4288   class class class wbr 5105   ∘ ccom 5656  (class class class)co 7400   GrpIso cgim 19318   ≃_𝑔 cgic 19319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8441  df-map 8814  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-grp 18993  df-ghm 19275  df-gim 19320  df-gic 19321

This theorem is referenced by:  gicer  19338  cyggic  21682