MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gictr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gictr 19230
Description: Isomorphism is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
gictr ((𝑅𝑔 𝑆𝑆𝑔 𝑇) → 𝑅𝑔 𝑇)

Proof of Theorem gictr
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 19224 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 brgic 19224 . 2 (𝑆𝑔 𝑇 ↔ (𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅)
3 n0 4347 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4 n0 4347 . . 3 ((𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇))
5 exdistrv 1952 . . . 4 (∃𝑓𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)))
6 gimco 19222 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑇))
7 brgici 19225 . . . . . . 7 ((𝑔𝑓) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑇) → 𝑅𝑔 𝑇)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) → 𝑅𝑔 𝑇)
98ancoms 458 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅𝑔 𝑇)
109exlimivv 1928 . . . 4 (∃𝑓𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅𝑔 𝑇)
115, 10sylbir 234 . . 3 ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅𝑔 𝑇)
123, 4, 11syl2anb 597 . 2 (((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅𝑔 𝑇)
131, 2, 12syl2anb 597 1 ((𝑅𝑔 𝑆𝑆𝑔 𝑇) → 𝑅𝑔 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wex 1774  wcel 2099  wne 2937  c0 4323   class class class wbr 5148  ccom 5682  (class class class)co 7420   GrpIso cgim 19211  𝑔 cgic 19212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8487  df-map 8847  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-grp 18893  df-ghm 19168  df-gim 19213  df-gic 19214
This theorem is referenced by:  gicer  19231  cyggic  21506
  Copyright terms: Public domain W3C validator