MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gictr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gictr 19066
Description: Isomorphism is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
gictr ((𝑅𝑔 𝑆𝑆𝑔 𝑇) → 𝑅𝑔 𝑇)

Proof of Theorem gictr
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 19060 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 brgic 19060 . 2 (𝑆𝑔 𝑇 ↔ (𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅)
3 n0 4307 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4 n0 4307 . . 3 ((𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇))
5 exdistrv 1960 . . . 4 (∃𝑓𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)))
6 gimco 19059 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑇))
7 brgici 19061 . . . . . . 7 ((𝑔𝑓) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑇) → 𝑅𝑔 𝑇)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) → 𝑅𝑔 𝑇)
98ancoms 460 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅𝑔 𝑇)
109exlimivv 1936 . . . 4 (∃𝑓𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅𝑔 𝑇)
115, 10sylbir 234 . . 3 ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅𝑔 𝑇)
123, 4, 11syl2anb 599 . 2 (((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅𝑔 𝑇)
131, 2, 12syl2anb 599 1 ((𝑅𝑔 𝑆𝑆𝑔 𝑇) → 𝑅𝑔 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  c0 4283   class class class wbr 5106  ccom 5638  (class class class)co 7358   GrpIso cgim 19048  𝑔 cgic 19049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-map 8768  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-grp 18752  df-ghm 19007  df-gim 19050  df-gic 19051
This theorem is referenced by:  gicer  19067  cyggic  20982
  Copyright terms: Public domain W3C validator