Theorem brgic 19346

Description: The relation "is isomorphic to" for groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brgic	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brgic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-gic 19336	. 2 ⊢ ≃𝑔 = (◡ GrpIso “ (V ∖ 1o))
2		gimfn 19337	. 2 ⊢ GrpIso Fn (Grp × Grp)
3	1, 2	brwitnlem 8490	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ≠ wne 2957  ∅c0 4285   class class class wbr 5108   × cxp 5658  (class class class)co 7412  Grpcgrp 19006   GrpIso cgim 19333   ≃_𝑔 cgic 19334

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-1o 8451  df-gim 19335  df-gic 19336

This theorem is used by:  brgici  19347  giclcl  19349  gicrcl  19350  gicsym  19351  gictr  19352  gicen  19354  gicsubgen  19355  giccyg  19976  gicabl  43854