Theorem brgic 19258

Description: The relation "is isomorphic to" for groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brgic	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brgic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-gic 19248	. 2 ⊢ ≃𝑔 = (◡ GrpIso “ (V ∖ 1o))
2		gimfn 19249	. 2 ⊢ GrpIso Fn (Grp × Grp)
3	1, 2	brwitnlem 8524	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ≠ wne 2933  ∅c0 4313   class class class wbr 5124   × cxp 5657  (class class class)co 7410  Grpcgrp 18921   GrpIso cgim 19245   ≃_𝑔 cgic 19246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8485  df-gim 19247  df-gic 19248

This theorem is referenced by:  brgici  19259  giclcl  19261  gicrcl  19262  gicsym  19263  gictr  19264  gicen  19266  gicsubgen  19267  giccyg  19886  gicabl  43090