Theorem brgic 18401

Description: The relation "is isomorphic to" for groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brgic	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brgic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-gic 18392	. 2 ⊢ ≃𝑔 = (◡ GrpIso “ (V ∖ 1o))
2		gimfn 18393	. 2 ⊢ GrpIso Fn (Grp × Grp)
3	1, 2	brwitnlem 8115	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ≠ wne 2987  ∅c0 4243   class class class wbr 5030   × cxp 5517  (class class class)co 7135  Grpcgrp 18095   GrpIso cgim 18389   ≃_𝑔 cgic 18390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-1o 8085  df-gim 18391  df-gic 18392

This theorem is referenced by:  brgici  18402  giclcl  18404  gicrcl  18405  gicsym  18406  gictr  18407  gicen  18409  gicsubgen  18410  giccyg  19013  gicabl  40043