Theorem brgic 19237

Description: The relation "is isomorphic to" for groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brgic	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brgic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-gic 19227	. 2 ⊢ ≃𝑔 = (◡ GrpIso “ (V ∖ 1o))
2		gimfn 19228	. 2 ⊢ GrpIso Fn (Grp × Grp)
3	1, 2	brwitnlem 8433	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ≠ wne 2934  ∅c0 4262   class class class wbr 5073   × cxp 5617  (class class class)co 7357  Grpcgrp 18901   GrpIso cgim 19224   ≃_𝑔 cgic 19225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-1o 8396  df-gim 19226  df-gic 19227

This theorem is referenced by:  brgici  19238  giclcl  19240  gicrcl  19241  gicsym  19242  gictr  19243  gicen  19245  gicsubgen  19246  giccyg  19867  gicabl  43553