MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brgic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brgic 18403
Description: The relation "is isomorphic to" for groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
brgic (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brgic
StepHypRef Expression
1 df-gic 18394 . 2 𝑔 = ( GrpIso “ (V ∖ 1o))
2 gimfn 18395 . 2 GrpIso Fn (Grp × Grp)
31, 2brwitnlem 8126 1 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wne 3016  c0 4290   class class class wbr 5058   × cxp 5547  (class class class)co 7150  Grpcgrp 18097   GrpIso cgim 18391  𝑔 cgic 18392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-1o 8096  df-gim 18393  df-gic 18394
This theorem is referenced by:  brgici  18404  giclcl  18406  gicrcl  18407  gicsym  18408  gictr  18409  gicen  18411  gicsubgen  18412  giccyg  19014  gicabl  39692
  Copyright terms: Public domain W3C validator