Theorem gicqusker 19258

Description: The image 𝐻 of a group homomorphism 𝐹 is isomorphic with the quotient group 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾. Together with ghmker 19212 and ghmima 19207, this is sometimes called the first isomorphism theorem for groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gicqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
gicqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
gicqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
gicqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
gicqusker.s	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
gicqusker	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑔 𝐻)

Proof of Theorem gicqusker

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gicqusker.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
2		gicqusker.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
3		gicqusker.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
4		gicqusker.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5		imaeq2 6015	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝐹 “ 𝑝) = (𝐹 “ 𝑞))
6	5	unieqd 4854	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ∪ (𝐹 “ 𝑝) = ∪ (𝐹 “ 𝑞))
7	6	cbvmptv 5179	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
8		gicqusker.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	ghmqusker 19257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻))
10		brgici 19241	. 2 ⊢ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻) → 𝑄 ≃𝑔 𝐻)
11	9, 10	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑔 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {csn 4558  ∪ cuni 4841   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ^◡ccnv 5620  ran crn 5622   “ cima 5624  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  0_gc0g 17397   /_s cqus 17464   ~_QG cqg 19093   GrpHom cghm 19182   GrpIso cgim 19227   ≃_𝑔 cgic 19228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-0g 17399  df-imas 17467  df-qus 17468  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-nsg 19095  df-eqg 19096  df-ghm 19183  df-gim 19229  df-gic 19230

This theorem is referenced by: (None)