Theorem gicqusker 32388

Description: The image 𝐻 of a group homomorphism 𝐹 is isomorphic with the quotient group 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾. Together with ghmker 19084 and ghmima 19079, this is sometimes called the first isomorphism theorem for groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gicqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
gicqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
gicqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
gicqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
gicqusker.s	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
gicqusker	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑔 𝐻)

Proof of Theorem gicqusker

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gicqusker.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
2		gicqusker.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
3		gicqusker.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
4		gicqusker.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5		imaeq2 6045	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝐹 “ 𝑝) = (𝐹 “ 𝑞))
6	5	unieqd 4915	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ∪ (𝐹 “ 𝑝) = ∪ (𝐹 “ 𝑞))
7	6	cbvmptv 5254	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
8		gicqusker.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	ghmqusker 32387	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻))
10		brgici 19110	. 2 ⊢ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻) → 𝑄 ≃𝑔 𝐻)
11	9, 10	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑔 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4622  ∪ cuni 4901   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5668  ran crn 5670   “ cima 5672  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  0_gc0g 17367   /_s cqus 17433   ~_QG cqg 18974   GrpHom cghm 19055   GrpIso cgim 19097   ≃_𝑔 cgic 19098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-ec 8688  df-qs 8692  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-0g 17369  df-imas 17436  df-qus 17437  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-nsg 18976  df-eqg 18977  df-ghm 19056  df-gim 19099  df-gic 19100

This theorem is referenced by: (None)