Theorem gicqusker 19330

Description: The image 𝐻 of a group homomorphism 𝐹 is isomorphic with the quotient group 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾. Together with ghmker 19284 and ghmima 19279, this is sometimes called the first isomorphism theorem for groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gicqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
gicqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
gicqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
gicqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
gicqusker.s	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
gicqusker	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑔 𝐻)

Proof of Theorem gicqusker

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gicqusker.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
2		gicqusker.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
3		gicqusker.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
4		gicqusker.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5		imaeq2 6087	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝐹 “ 𝑝) = (𝐹 “ 𝑞))
6	5	unieqd 4944	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ∪ (𝐹 “ 𝑝) = ∪ (𝐹 “ 𝑞))
7	6	cbvmptv 5279	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
8		gicqusker.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	ghmqusker 19329	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻))
10		brgici 19313	. 2 ⊢ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻) → 𝑄 ≃𝑔 𝐻)
11	9, 10	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑔 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ^◡ccnv 5699  ran crn 5701   “ cima 5703  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  0_gc0g 17501   /_s cqus 17567   ~_QG cqg 19164   GrpHom cghm 19254   GrpIso cgim 19299   ≃_𝑔 cgic 19300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-ec 8767  df-qs 8771  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-inf 9514  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-fz 13570  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-0g 17503  df-imas 17570  df-qus 17571  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-nsg 19166  df-eqg 19167  df-ghm 19255  df-gim 19301  df-gic 19302

This theorem is referenced by: (None)