Theorem gicqusker 19361

Description: The image 𝐻 of a group homomorphism 𝐹 is isomorphic with the quotient group 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾. Together with ghmker 19315 and ghmima 19310, this is sometimes called the first isomorphism theorem for groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gicqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
gicqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
gicqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
gicqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
gicqusker.s	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
gicqusker	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑔 𝐻)

Proof of Theorem gicqusker

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gicqusker.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
2		gicqusker.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
3		gicqusker.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
4		gicqusker.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5		imaeq2 6062	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝐹 “ 𝑝) = (𝐹 “ 𝑞))
6	5	unieqd 4890	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ∪ (𝐹 “ 𝑝) = ∪ (𝐹 “ 𝑞))
7	6	cbvmptv 5220	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
8		gicqusker.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	ghmqusker 19360	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻))
10		brgici 19344	. 2 ⊢ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻) → 𝑄 ≃𝑔 𝐻)
11	9, 10	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑔 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  {csn 4594  ∪ cuni 4877   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ^◡ccnv 5664  ran crn 5666   “ cima 5668  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  0_gc0g 17495   /_s cqus 17562   ~_QG cqg 19191   GrpHom cghm 19286   GrpIso cgim 19330   ≃_𝑔 cgic 19331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-ec 8699  df-qs 8703  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-fz 13539  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-0g 17497  df-imas 17565  df-qus 17566  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-subg 19192  df-nsg 19193  df-eqg 19194  df-ghm 19287  df-gim 19332  df-gic 19333

This theorem is referenced by: (None)