Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gicqusker Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gicqusker 32488
Description: The image 𝐻 of a group homomorphism 𝐹 is isomorphic with the quotient group 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾. Together with ghmker 19103 and ghmima 19098, this is sometimes called the first isomorphism theorem for groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gicqusker.1 0 = (0g𝐻)
gicqusker.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
gicqusker.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
gicqusker.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
gicqusker.s (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
Assertion
Ref Expression
gicqusker (𝜑𝑄𝑔 𝐻)

Proof of Theorem gicqusker
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gicqusker.1 . . 3 0 = (0g𝐻)
2 gicqusker.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
3 gicqusker.k . . 3 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
4 gicqusker.q . . 3 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5 imaeq2 6048 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
65unieqd 4918 . . . 4 (𝑝 = 𝑞 (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
76cbvmptv 5257 . . 3 (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑝)) = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
8 gicqusker.s . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
91, 2, 3, 4, 7, 8ghmqusker 32487 . 2 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑝)) ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻))
10 brgici 19129 . 2 ((𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑝)) ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻) → 𝑄𝑔 𝐻)
119, 10syl 17 1 (𝜑𝑄𝑔 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  {csn 4624   cuni 4904   class class class wbr 5144  cmpt 5227  ccnv 5671  ran crn 5673  cima 5675  cfv 6535  (class class class)co 7396  Basecbs 17131  0gc0g 17372   /s cqus 17438   ~QG cqg 18987   GrpHom cghm 19074   GrpIso cgim 19116  𝑔 cgic 19117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-ec 8693  df-qs 8697  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-inf 9425  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-fz 13472  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-0g 17374  df-imas 17441  df-qus 17442  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-subg 18988  df-nsg 18989  df-eqg 18990  df-ghm 19075  df-gim 19118  df-gic 19119
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator