MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygznlem3 21464
Description: A cyclic group with ๐‘› elements is isomorphic to โ„ค / ๐‘›โ„ค. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
cygzn.n ๐‘ = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0)
cygzn.y ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
cygzn.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
cygzn.l ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
cygzn.e ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
cygzn.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CycGrp)
cygzn.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ)
cygzn.f ๐น = ran (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†ฆ โŸจ(๐ฟโ€˜๐‘š), (๐‘š ยท ๐‘‹)โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
cygznlem3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‰ƒ๐‘” ๐‘Œ)
Distinct variable groups:   ๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐ต   ๐‘š,๐บ,๐‘›,๐‘ฅ   ยท ,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘š,๐‘Œ,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘š,๐ฟ,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘š   ๐‘›,๐น,๐‘ฅ   ๐‘š,๐‘‹,๐‘›,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘›)   ๐น(๐‘š)   ๐‘(๐‘š,๐‘›)

Proof of Theorem cygznlem3
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘– ๐‘— ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
2 cygzn.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
3 eqid 2726 . . . 4 (+gโ€˜๐‘Œ) = (+gโ€˜๐‘Œ)
4 eqid 2726 . . . 4 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
5 cygzn.n . . . . . 6 ๐‘ = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0)
6 hashcl 14321 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
76adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
8 0nn0 12491 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„•0
98a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
107, 9ifclda 4558 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„•0)
115, 10eqeltrid 2831 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
12 cygzn.y . . . . . 6 ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
1312zncrng 21439 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CRing)
14 crngring 20150 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ CRing โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
15 ringgrp 20143 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
1611, 13, 14, 154syl 19 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
17 cygzn.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CycGrp)
18 cyggrp 19810 . . . . 5 (๐บ โˆˆ CycGrp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
1917, 18syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
20 cygzn.m . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
21 cygzn.l . . . . 5 ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
22 cygzn.e . . . . 5 ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
23 cygzn.x . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ)
24 cygzn.f . . . . 5 ๐น = ran (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†ฆ โŸจ(๐ฟโ€˜๐‘š), (๐‘š ยท ๐‘‹)โŸฉ)
252, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24cygznlem2a 21462 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โŸถ๐ต)
2612, 1, 21znzrhfo 21442 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ฟ:โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ))
2711, 26syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ:โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ))
28 foelrn 7102 . . . . . . 7 ((๐ฟ:โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–))
2927, 28sylan 579 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–))
30 foelrn 7102 . . . . . . 7 ((๐ฟ:โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—))
3127, 30sylan 579 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—))
3229, 31anim12dan 618 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)))
33 reeanv 3220 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†” (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)))
3419adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
35 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
36 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
372, 20, 22iscyggen 19800 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘‹)) = ๐ต))
3837simplbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3923, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
412, 20, 4mulgdir 19033 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘– + ๐‘—) ยท ๐‘‹) = ((๐‘– ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘— ยท ๐‘‹)))
4234, 35, 36, 40, 41syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘– + ๐‘—) ยท ๐‘‹) = ((๐‘– ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘— ยท ๐‘‹)))
4311, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CRing)
4421zrhrhm 21398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
45 rhmghm 20386 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘Œ))
4643, 14, 44, 454syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘Œ))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘Œ))
48 zringbas 21340 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
49 zringplusg 21341 . . . . . . . . . . . . . 14 + = (+gโ€˜โ„คring)
5048, 49, 3ghmlin 19146 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ฟ โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘Œ) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘– + ๐‘—)) = ((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—)))
5147, 35, 36, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘– + ๐‘—)) = ((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—)))
5251fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘– + ๐‘—))) = (๐นโ€˜((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—))))
53 zaddcl 12606 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
542, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24cygznlem2 21463 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘– + ๐‘—))) = ((๐‘– + ๐‘—) ยท ๐‘‹))
5553, 54sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘– + ๐‘—))) = ((๐‘– + ๐‘—) ยท ๐‘‹))
5652, 55eqtr3d 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—))) = ((๐‘– + ๐‘—) ยท ๐‘‹))
572, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24cygznlem2 21463 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐‘– ยท ๐‘‹))
5857adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐‘– ยท ๐‘‹))
592, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24cygznlem2 21463 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) = (๐‘— ยท ๐‘‹))
6059adantrl 713 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) = (๐‘— ยท ๐‘‹))
6158, 60oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–))(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—))) = ((๐‘– ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘— ยท ๐‘‹)))
6242, 56, 613eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—))) = ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–))(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—))))
63 oveq12 7414 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘) = ((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—)))
6463fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = (๐นโ€˜((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—))))
65 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)))
66 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)))
6765, 66oveqan12d 7424 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘)) = ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–))(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—))))
6864, 67eqeq12d 2742 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘)) โ†” (๐นโ€˜((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—))) = ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–))(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)))))
6962, 68syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘))))
7069rexlimdvva 3205 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘))))
7133, 70biimtrrid 242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘))))
7271imp 406 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘)))
7332, 72syldan 590 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘)))
741, 2, 3, 4, 16, 19, 25, 73isghmd 19150 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘Œ GrpHom ๐บ))
7558, 60eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†” (๐‘– ยท ๐‘‹) = (๐‘— ยท ๐‘‹)))
762, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23cygznlem1 21461 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ฟโ€˜๐‘–) = (๐ฟโ€˜๐‘—) โ†” (๐‘– ยท ๐‘‹) = (๐‘— ยท ๐‘‹)))
7775, 76bitr4d 282 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†” (๐ฟโ€˜๐‘–) = (๐ฟโ€˜๐‘—)))
7877biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘–) = (๐ฟโ€˜๐‘—)))
7965, 66eqeqan12d 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†” (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—))))
80 eqeq12 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐‘Ž = ๐‘ โ†” (๐ฟโ€˜๐‘–) = (๐ฟโ€˜๐‘—)))
8179, 80imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘) โ†” ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘–) = (๐ฟโ€˜๐‘—))))
8278, 81syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)))
8382rexlimdvva 3205 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)))
8433, 83biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)))
8584imp 406 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—))) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
8632, 85syldan 590 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
8786ralrimivva 3194 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
88 dff13 7250 . . . . 5 (๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“1-1โ†’๐ต โ†” (๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)))
8925, 87, 88sylanbrc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“1-1โ†’๐ต)
902, 20, 22iscyggen2 19801 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹))))
9119, 90syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹))))
9223, 91mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹)))
9392simprd 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹))
94 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐‘— ยท ๐‘‹))
9594eqeq2d 2737 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†” ๐‘ง = (๐‘— ยท ๐‘‹)))
9695cbvrexvw 3229 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘— ยท ๐‘‹))
9727adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ฟ:โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ))
98 fof 6799 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ฟ:โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ) โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
10099ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
10159adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) = (๐‘— ยท ๐‘‹))
102101eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘— ยท ๐‘‹) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)))
103 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘—) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)))
104103rspceeqv 3628 . . . . . . . . . . 11 (((๐ฟโ€˜๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘— ยท ๐‘‹) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)(๐‘— ยท ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘Ž))
105100, 102, 104syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)(๐‘— ยท ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘Ž))
106 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐‘— ยท ๐‘‹) โ†’ (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†” (๐‘— ยท ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
107106rexbidv 3172 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = (๐‘— ยท ๐‘‹) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)(๐‘— ยท ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
108105, 107syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง = (๐‘— ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
109108rexlimdva 3149 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘— ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
11096, 109biimtrid 241 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
111110ralimdva 3161 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
11293, 111mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž))
113 dffo3 7097 . . . . 5 (๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“ontoโ†’๐ต โ†” (๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
11425, 112, 113sylanbrc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“ontoโ†’๐ต)
115 df-f1o 6544 . . . 4 (๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โ†” (๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“1-1โ†’๐ต โˆง ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“ontoโ†’๐ต))
11689, 114, 115sylanbrc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
1171, 2isgim 19187 . . 3 (๐น โˆˆ (๐‘Œ GrpIso ๐บ) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘Œ GrpHom ๐บ) โˆง ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต))
11874, 116, 117sylanbrc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘Œ GrpIso ๐บ))
119 brgici 19196 . 2 (๐น โˆˆ (๐‘Œ GrpIso ๐บ) โ†’ ๐‘Œ โ‰ƒ๐‘” ๐บ)
120 gicsym 19200 . 2 (๐‘Œ โ‰ƒ๐‘” ๐บ โ†’ ๐บ โ‰ƒ๐‘” ๐‘Œ)
121118, 119, 1203syl 18 1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‰ƒ๐‘” ๐‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  {crab 3426  ifcif 4523  โŸจcop 4629   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  ran crn 5670  โŸถwf 6533  โ€“1-1โ†’wf1 6534  โ€“ontoโ†’wfo 6535  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  0cc0 11112   + caddc 11115  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ™ฏchash 14295  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Grpcgrp 18863  .gcmg 18995   GrpHom cghm 19138   GrpIso cgim 19182   โ‰ƒ๐‘” cgic 19183  CycGrpccyg 19797  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  โ„คringczring 21333  โ„คRHomczrh 21386  โ„ค/nโ„คczn 21389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-gic 19185  df-od 19448  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-cyg 19798  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393
This theorem is referenced by:  cygzn  21465
  Copyright terms: Public domain W3C validator