MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygznlem3 21507
Description: A cyclic group with ๐‘› elements is isomorphic to โ„ค / ๐‘›โ„ค. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
cygzn.n ๐‘ = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0)
cygzn.y ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
cygzn.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
cygzn.l ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
cygzn.e ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
cygzn.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CycGrp)
cygzn.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ)
cygzn.f ๐น = ran (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†ฆ โŸจ(๐ฟโ€˜๐‘š), (๐‘š ยท ๐‘‹)โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
cygznlem3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‰ƒ๐‘” ๐‘Œ)
Distinct variable groups:   ๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐ต   ๐‘š,๐บ,๐‘›,๐‘ฅ   ยท ,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘š,๐‘Œ,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘š,๐ฟ,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘š   ๐‘›,๐น,๐‘ฅ   ๐‘š,๐‘‹,๐‘›,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘›)   ๐น(๐‘š)   ๐‘(๐‘š,๐‘›)

Proof of Theorem cygznlem3
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘– ๐‘— ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
2 cygzn.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
3 eqid 2725 . . . 4 (+gโ€˜๐‘Œ) = (+gโ€˜๐‘Œ)
4 eqid 2725 . . . 4 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
5 cygzn.n . . . . . 6 ๐‘ = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0)
6 hashcl 14347 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
76adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
8 0nn0 12517 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„•0
98a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
107, 9ifclda 4559 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„•0)
115, 10eqeltrid 2829 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
12 cygzn.y . . . . . 6 ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
1312zncrng 21482 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CRing)
14 crngring 20189 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ CRing โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
15 ringgrp 20182 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
1611, 13, 14, 154syl 19 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
17 cygzn.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CycGrp)
18 cyggrp 19849 . . . . 5 (๐บ โˆˆ CycGrp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
1917, 18syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
20 cygzn.m . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
21 cygzn.l . . . . 5 ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
22 cygzn.e . . . . 5 ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
23 cygzn.x . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ)
24 cygzn.f . . . . 5 ๐น = ran (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†ฆ โŸจ(๐ฟโ€˜๐‘š), (๐‘š ยท ๐‘‹)โŸฉ)
252, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24cygznlem2a 21505 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โŸถ๐ต)
2612, 1, 21znzrhfo 21485 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ฟ:โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ))
2711, 26syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ:โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ))
28 foelrn 7112 . . . . . . 7 ((๐ฟ:โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–))
2927, 28sylan 578 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–))
30 foelrn 7112 . . . . . . 7 ((๐ฟ:โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—))
3127, 30sylan 578 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—))
3229, 31anim12dan 617 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)))
33 reeanv 3217 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†” (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)))
3419adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
35 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
36 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
372, 20, 22iscyggen 19839 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘‹)) = ๐ต))
3837simplbi 496 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3923, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
4039adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
412, 20, 4mulgdir 19065 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘– + ๐‘—) ยท ๐‘‹) = ((๐‘– ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘— ยท ๐‘‹)))
4234, 35, 36, 40, 41syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘– + ๐‘—) ยท ๐‘‹) = ((๐‘– ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘— ยท ๐‘‹)))
4311, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CRing)
4421zrhrhm 21441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
45 rhmghm 20427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘Œ))
4643, 14, 44, 454syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘Œ))
4746adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘Œ))
48 zringbas 21383 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
49 zringplusg 21384 . . . . . . . . . . . . . 14 + = (+gโ€˜โ„คring)
5048, 49, 3ghmlin 19179 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ฟ โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘Œ) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘– + ๐‘—)) = ((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—)))
5147, 35, 36, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘– + ๐‘—)) = ((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—)))
5251fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘– + ๐‘—))) = (๐นโ€˜((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—))))
53 zaddcl 12632 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
542, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24cygznlem2 21506 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– + ๐‘—) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘– + ๐‘—))) = ((๐‘– + ๐‘—) ยท ๐‘‹))
5553, 54sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘– + ๐‘—))) = ((๐‘– + ๐‘—) ยท ๐‘‹))
5652, 55eqtr3d 2767 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—))) = ((๐‘– + ๐‘—) ยท ๐‘‹))
572, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24cygznlem2 21506 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐‘– ยท ๐‘‹))
5857adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐‘– ยท ๐‘‹))
592, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24cygznlem2 21506 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) = (๐‘— ยท ๐‘‹))
6059adantrl 714 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) = (๐‘— ยท ๐‘‹))
6158, 60oveq12d 7434 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–))(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—))) = ((๐‘– ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘— ยท ๐‘‹)))
6242, 56, 613eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐นโ€˜((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—))) = ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–))(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—))))
63 oveq12 7425 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘) = ((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—)))
6463fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = (๐นโ€˜((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—))))
65 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)))
66 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)))
6765, 66oveqan12d 7435 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘)) = ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–))(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—))))
6864, 67eqeq12d 2741 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘)) โ†” (๐นโ€˜((๐ฟโ€˜๐‘–)(+gโ€˜๐‘Œ)(๐ฟโ€˜๐‘—))) = ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–))(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)))))
6962, 68syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘))))
7069rexlimdvva 3202 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘))))
7133, 70biimtrrid 242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘))))
7271imp 405 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘)))
7332, 72syldan 589 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘Œ)๐‘)) = ((๐นโ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐บ)(๐นโ€˜๐‘)))
741, 2, 3, 4, 16, 19, 25, 73isghmd 19183 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘Œ GrpHom ๐บ))
7558, 60eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†” (๐‘– ยท ๐‘‹) = (๐‘— ยท ๐‘‹)))
762, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23cygznlem1 21504 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ฟโ€˜๐‘–) = (๐ฟโ€˜๐‘—) โ†” (๐‘– ยท ๐‘‹) = (๐‘— ยท ๐‘‹)))
7775, 76bitr4d 281 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†” (๐ฟโ€˜๐‘–) = (๐ฟโ€˜๐‘—)))
7877biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘–) = (๐ฟโ€˜๐‘—)))
7965, 66eqeqan12d 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†” (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—))))
80 eqeq12 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐‘Ž = ๐‘ โ†” (๐ฟโ€˜๐‘–) = (๐ฟโ€˜๐‘—)))
8179, 80imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘) โ†” ((๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘–)) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘–) = (๐ฟโ€˜๐‘—))))
8278, 81syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)))
8382rexlimdvva 3202 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค (๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)))
8433, 83biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)))
8584imp 405 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘–) โˆง โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ = (๐ฟโ€˜๐‘—))) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
8632, 85syldan 589 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
8786ralrimivva 3191 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘))
88 dff13 7261 . . . . 5 (๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“1-1โ†’๐ต โ†” (๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)โˆ€๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘)))
8925, 87, 88sylanbrc 581 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“1-1โ†’๐ต)
902, 20, 22iscyggen2 19840 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹))))
9119, 90syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹))))
9223, 91mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹)))
9392simprd 494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹))
94 oveq1 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐‘— ยท ๐‘‹))
9594eqeq2d 2736 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†” ๐‘ง = (๐‘— ยท ๐‘‹)))
9695cbvrexvw 3226 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘— ยท ๐‘‹))
9727adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ฟ:โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ))
98 fof 6806 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ฟ:โ„คโ€“ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘Œ) โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
10099ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
10159adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)) = (๐‘— ยท ๐‘‹))
102101eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘— ยท ๐‘‹) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)))
103 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = (๐ฟโ€˜๐‘—) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—)))
104103rspceeqv 3623 . . . . . . . . . . 11 (((๐ฟโ€˜๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘— ยท ๐‘‹) = (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘—))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)(๐‘— ยท ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘Ž))
105100, 102, 104syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)(๐‘— ยท ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘Ž))
106 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐‘— ยท ๐‘‹) โ†’ (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†” (๐‘— ยท ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
107106rexbidv 3169 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = (๐‘— ยท ๐‘‹) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)(๐‘— ยท ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
108105, 107syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง = (๐‘— ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
109108rexlimdva 3145 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘— ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
11096, 109biimtrid 241 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
111110ralimdva 3157 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
11293, 111mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž))
113 dffo3 7107 . . . . 5 (๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“ontoโ†’๐ต โ†” (๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘Ž)))
11425, 112, 113sylanbrc 581 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“ontoโ†’๐ต)
115 df-f1o 6550 . . . 4 (๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โ†” (๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“1-1โ†’๐ต โˆง ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“ontoโ†’๐ต))
11689, 114, 115sylanbrc 581 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
1171, 2isgim 19220 . . 3 (๐น โˆˆ (๐‘Œ GrpIso ๐บ) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘Œ GrpHom ๐บ) โˆง ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต))
11874, 116, 117sylanbrc 581 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘Œ GrpIso ๐บ))
119 brgici 19229 . 2 (๐น โˆˆ (๐‘Œ GrpIso ๐บ) โ†’ ๐‘Œ โ‰ƒ๐‘” ๐บ)
120 gicsym 19233 . 2 (๐‘Œ โ‰ƒ๐‘” ๐บ โ†’ ๐บ โ‰ƒ๐‘” ๐‘Œ)
121118, 119, 1203syl 18 1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‰ƒ๐‘” ๐‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060  {crab 3419  ifcif 4524  โŸจcop 4630   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  ran crn 5673  โŸถwf 6539  โ€“1-1โ†’wf1 6540  โ€“ontoโ†’wfo 6541  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  0cc0 11138   + caddc 11141  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  โ™ฏchash 14321  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Grpcgrp 18894  .gcmg 19027   GrpHom cghm 19171   GrpIso cgim 19215   โ‰ƒ๐‘” cgic 19216  CycGrpccyg 19836  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178   RingHom crh 20412  โ„คringczring 21376  โ„คRHomczrh 21429  โ„ค/nโ„คczn 21432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-imas 17489  df-qus 17490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-nsg 19083  df-eqg 19084  df-ghm 19172  df-gim 19217  df-gic 19218  df-od 19487  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-cyg 19837  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-2idl 21148  df-cnfld 21284  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-zn 21436
This theorem is referenced by:  cygzn  21508
  Copyright terms: Public domain W3C validator