MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gicsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gicsym 19065
Description: Isomorphism is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
gicsym (𝑅𝑔 𝑆𝑆𝑔 𝑅)

Proof of Theorem gicsym
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 19060 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 4307 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3 gimcnv 19058 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑅))
4 brgici 19061 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑅) → 𝑆𝑔 𝑅)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆𝑔 𝑅)
65exlimiv 1934 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆𝑔 𝑅)
72, 6sylbi 216 . 2 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝑆𝑔 𝑅)
81, 7sylbi 216 1 (𝑅𝑔 𝑆𝑆𝑔 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  c0 4283   class class class wbr 5106  ccnv 5633  (class class class)co 7358   GrpIso cgim 19048  𝑔 cgic 19049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-ghm 19007  df-gim 19050  df-gic 19051
This theorem is referenced by:  gicer  19067  cygznlem3  20979  cygth  20981  cyggic  20982
  Copyright terms: Public domain W3C validator