Theorem gicsym 19294

Description: Isomorphism is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gicsym	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)

Proof of Theorem gicsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 19289	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4352	. . 3 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3		gimcnv 19286	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑅))
4		brgici 19290	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑅) → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)
6	5	exlimiv 1929	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)
7	2, 6	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∅c0 4332   class class class wbr 5142  ^◡ccnv 5683  (class class class)co 7432   GrpIso cgim 19276   ≃_𝑔 cgic 19277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-1o 8507  df-map 8869  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-gic 19279

This theorem is referenced by:  gicer  19296  cygznlem3  21589  cygth  21591  cyggic  21592