Theorem gicsym 19248

Description: Isomorphism is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gicsym	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)

Proof of Theorem gicsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 19243	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4288	. . 3 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3		gimcnv 19240	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑅))
4		brgici 19244	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑅) → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)
6	5	exlimiv 1937	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)
7	2, 6	sylbi 218	. 2 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)
8	1, 7	sylbi 218	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  ^◡ccnv 5624  (class class class)co 7363   GrpIso cgim 19230   ≃_𝑔 cgic 19231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-1o 8402  df-map 8772  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-ghm 19186  df-gim 19232  df-gic 19233

This theorem is referenced by:  gicer  19250  cygznlem3  21551  cygth  21553  cyggic  21554