Theorem gicsym 18406

Description: Isomorphism is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gicsym	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)

Proof of Theorem gicsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 18401	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4260	. . 3 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3		gimcnv 18399	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑅))
4		brgici 18402	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑅) → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)
6	5	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)
7	2, 6	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)
8	1, 7	sylbi 220	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑆 ≃𝑔 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5518  (class class class)co 7135   GrpIso cgim 18389   ≃_𝑔 cgic 18390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-1o 8085  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-gic 18392

This theorem is referenced by:  gicer  18408  cygznlem3  20261  cygth  20263  cyggic  20264