Theorem isnumbasgrplem1 43848

Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnumbasgrplem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnumbasgrplem1	⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶 ≈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasgrplem1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymb 8995	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶)
2		bren 8949	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
3	1, 2	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
4		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → (𝑓 “s 𝑅) = (𝑓 “s 𝑅))
5		isnumbasgrplem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7		f1ofo 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 → 𝑓:𝐵–onto→𝐶)
8	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵–onto→𝐶)
9		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Abel)
10	4, 6, 8, 9	imasbas 17561	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 = (Base‘(𝑓 “s 𝑅)))
11		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
12		ablgrp 19850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
13	12	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Grp)
14	4, 6, 11, 13	imasgim 43847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓 “s 𝑅)))
15		brgici 19336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓 “s 𝑅)) → 𝑅 ≃𝑔 (𝑓 “s 𝑅))
16		gicabl 43846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 (𝑓 “s 𝑅) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel))
17	14, 15, 16	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel))
18	9, 17	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → (𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel)
19		basfn 17268	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
20		ssv 3961	. . . . . . . 8 ⊢ Abel ⊆ V
21		fnfvima 7231	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ Abel ⊆ V ∧ (𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel) → (Base‘(𝑓 “s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
22	19, 20, 21	mp3an12 1480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel → (Base‘(𝑓 “s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
23	18, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → (Base‘(𝑓 “s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
24	10, 23	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
25	24	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
26	25	exlimiv 1960	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
27	26	impcom 412	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
28	3, 27	sylan2b 605	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶 ≈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   “ cima 5664   Fn wfn 6531  –onto→wfo 6534  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ≈ cen 8936  Basecbs 17264   “_s cimas 17553  Grpcgrp 18995   GrpIso cgim 19322   ≃_𝑔 cgic 19323  Abelcabl 19846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-0g 17489  df-imas 17557  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-ghm 19279  df-gim 19324  df-gic 19325  df-cmn 19847  df-abl 19848

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  43852