Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumbasgrplem1 39212
Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnumbasgrplem1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem1 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasgrplem1
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 8410 . . 3 (𝐶𝐵𝐵𝐶)
2 bren 8371 . . 3 (𝐵𝐶 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
31, 2bitri 276 . 2 (𝐶𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
4 eqidd 2796 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (𝑓s 𝑅) = (𝑓s 𝑅))
5 isnumbasgrplem1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7 f1ofo 6495 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑓:𝐵onto𝐶)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵onto𝐶)
9 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Abel)
104, 6, 8, 9imasbas 16619 . . . . . 6 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 = (Base‘(𝑓s 𝑅)))
11 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
12 ablgrp 18643 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
1312adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Grp)
144, 6, 11, 13imasgim 39211 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓s 𝑅)))
15 brgici 18156 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓s 𝑅)) → 𝑅𝑔 (𝑓s 𝑅))
16 gicabl 39210 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑔 (𝑓s 𝑅) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓s 𝑅) ∈ Abel))
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓s 𝑅) ∈ Abel))
189, 17mpbid 233 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (𝑓s 𝑅) ∈ Abel)
19 basfn 16337 . . . . . . . 8 Base Fn V
20 ssv 3916 . . . . . . . 8 Abel ⊆ V
21 fnfvima 6865 . . . . . . . 8 ((Base Fn V ∧ Abel ⊆ V ∧ (𝑓s 𝑅) ∈ Abel) → (Base‘(𝑓s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
2219, 20, 21mp3an12 1443 . . . . . . 7 ((𝑓s 𝑅) ∈ Abel → (Base‘(𝑓s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (Base‘(𝑓s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
2410, 23eqeltrd 2883 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
2524ex 413 . . . 4 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
2625exlimiv 1908 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
2726impcom 408 . 2 ((𝑅 ∈ Abel ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
283, 27sylan2b 593 1 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wex 1761  wcel 2081  Vcvv 3437  wss 3863   class class class wbr 4966  cima 5451   Fn wfn 6225  ontowfo 6228  1-1-ontowf1o 6229  cfv 6230  (class class class)co 7021  cen 8359  Basecbs 16317  s cimas 16611  Grpcgrp 17866   GrpIso cgim 18143  𝑔 cgic 18144  Abelcabl 18639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-inf 8758  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-fz 12748  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-0g 16549  df-imas 16615  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-ghm 18102  df-gim 18145  df-gic 18146  df-cmn 18640  df-abl 18641
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  39216
  Copyright terms: Public domain W3C validator