Theorem isnumbasgrplem1 43561

Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnumbasgrplem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnumbasgrplem1	⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶 ≈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasgrplem1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymb 8943	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶)
2		bren 8897	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
3	1, 2	bitri 277	. 2 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
4		eqidd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → (𝑓 “s 𝑅) = (𝑓 “s 𝑅))
5		isnumbasgrplem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7		f1ofo 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 → 𝑓:𝐵–onto→𝐶)
8	7	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵–onto→𝐶)
9		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Abel)
10	4, 6, 8, 9	imasbas 17471	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 = (Base‘(𝑓 “s 𝑅)))
11		simpl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
12		ablgrp 19755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
13	12	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Grp)
14	4, 6, 11, 13	imasgim 43560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓 “s 𝑅)))
15		brgici 19241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓 “s 𝑅)) → 𝑅 ≃𝑔 (𝑓 “s 𝑅))
16		gicabl 43559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 (𝑓 “s 𝑅) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel))
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel))
18	9, 17	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → (𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel)
19		basfn 17178	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
20		ssv 3941	. . . . . . . 8 ⊢ Abel ⊆ V
21		fnfvima 7181	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ Abel ⊆ V ∧ (𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel) → (Base‘(𝑓 “s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
22	19, 20, 21	mp3an12 1460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel → (Base‘(𝑓 “s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
23	18, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → (Base‘(𝑓 “s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
24	10, 23	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
25	24	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
26	25	exlimiv 1938	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
27	26	impcom 409	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
28	3, 27	sylan2b 601	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶 ≈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075   “ cima 5624   Fn wfn 6484  –onto→wfo 6487  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ≈ cen 8884  Basecbs 17174   “_s cimas 17463  Grpcgrp 18904   GrpIso cgim 19227   ≃_𝑔 cgic 19228  Abelcabl 19751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-0g 17399  df-imas 17467  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-ghm 19183  df-gim 19229  df-gic 19230  df-cmn 19752  df-abl 19753

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  43565