Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isnumbasgrplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumbasgrplem1 42447
Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnumbasgrplem1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isnumbasgrplem1 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasgrplem1
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 9014 . . 3 (𝐶𝐵𝐵𝐶)
2 bren 8965 . . 3 (𝐵𝐶 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
31, 2bitri 275 . 2 (𝐶𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
4 eqidd 2728 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (𝑓s 𝑅) = (𝑓s 𝑅))
5 isnumbasgrplem1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7 f1ofo 6840 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑓:𝐵onto𝐶)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵onto𝐶)
9 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Abel)
104, 6, 8, 9imasbas 17485 . . . . . 6 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 = (Base‘(𝑓s 𝑅)))
11 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
12 ablgrp 19731 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
1312adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Grp)
144, 6, 11, 13imasgim 42446 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓s 𝑅)))
15 brgici 19216 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓s 𝑅)) → 𝑅𝑔 (𝑓s 𝑅))
16 gicabl 42445 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑔 (𝑓s 𝑅) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓s 𝑅) ∈ Abel))
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓s 𝑅) ∈ Abel))
189, 17mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (𝑓s 𝑅) ∈ Abel)
19 basfn 17175 . . . . . . . 8 Base Fn V
20 ssv 4002 . . . . . . . 8 Abel ⊆ V
21 fnfvima 7239 . . . . . . . 8 ((Base Fn V ∧ Abel ⊆ V ∧ (𝑓s 𝑅) ∈ Abel) → (Base‘(𝑓s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
2219, 20, 21mp3an12 1448 . . . . . . 7 ((𝑓s 𝑅) ∈ Abel → (Base‘(𝑓s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → (Base‘(𝑓s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
2410, 23eqeltrd 2828 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
2524ex 412 . . . 4 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
2625exlimiv 1926 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
2726impcom 407 . 2 ((𝑅 ∈ Abel ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
283, 27sylan2b 593 1 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  Vcvv 3469  wss 3944   class class class wbr 5142  cima 5675   Fn wfn 6537  ontowfo 6540  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542  (class class class)co 7414  cen 8952  Basecbs 17171  s cimas 17477  Grpcgrp 18881   GrpIso cgim 19202  𝑔 cgic 19203  Abelcabl 19727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-0g 17414  df-imas 17481  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-ghm 19159  df-gim 19204  df-gic 19205  df-cmn 19728  df-abl 19729
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  42451
  Copyright terms: Public domain W3C validator