Theorem isnumbasgrplem1 41828

Description: A set which is equipollent to the base set of a definable Abelian group is the base set of some (relabeled) Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnumbasgrplem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnumbasgrplem1	⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶 ≈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))

Proof of Theorem isnumbasgrplem1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymb 8994	. . 3 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶)
2		bren 8945	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
3	1, 2	bitri 274	. 2 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
4		eqidd 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → (𝑓 “s 𝑅) = (𝑓 “s 𝑅))
5		isnumbasgrplem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7		f1ofo 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 → 𝑓:𝐵–onto→𝐶)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵–onto→𝐶)
9		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Abel)
10	4, 6, 8, 9	imasbas 17454	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 = (Base‘(𝑓 “s 𝑅)))
11		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
12		ablgrp 19647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑅 ∈ Grp)
14	4, 6, 11, 13	imasgim 41827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓 “s 𝑅)))
15		brgici 19138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso (𝑓 “s 𝑅)) → 𝑅 ≃𝑔 (𝑓 “s 𝑅))
16		gicabl 41826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 (𝑓 “s 𝑅) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel))
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → (𝑅 ∈ Abel ↔ (𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel))
18	9, 17	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → (𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel)
19		basfn 17144	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
20		ssv 4005	. . . . . . . 8 ⊢ Abel ⊆ V
21		fnfvima 7231	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ Abel ⊆ V ∧ (𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel) → (Base‘(𝑓 “s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
22	19, 20, 21	mp3an12 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 “s 𝑅) ∈ Abel → (Base‘(𝑓 “s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
23	18, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → (Base‘(𝑓 “s 𝑅)) ∈ (Base “ Abel))
24	10, 23	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑅 ∈ Abel) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
25	24	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
26	25	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 → (𝑅 ∈ Abel → 𝐶 ∈ (Base “ Abel)))
27	26	impcom 408	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))
28	3, 27	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐶 ≈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (Base “ Abel))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   “ cima 5678   Fn wfn 6535  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ≈ cen 8932  Basecbs 17140   “_s cimas 17446  Grpcgrp 18815   GrpIso cgim 19125   ≃_𝑔 cgic 19126  Abelcabl 19643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-imas 17450  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-gic 19128  df-cmn 19644  df-abl 19645

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  41832