Theorem pconnpi1 35242

Description: All fundamental groups in a path-connected space are isomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pconnpi1.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
pconnpi1.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pconnpi1.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
pconnpi1.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑃)
pconnpi1.t	⊢ 𝑇 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
pconnpi1	⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)

Proof of Theorem pconnpi1

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pconnpi1.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	pconncn 35229	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 (𝑓‘1))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
7		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ PConn)
8		pconntop 35230	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
10	1	toptopon 22923	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11	9, 10	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
13		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑦))
14	13	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘(1 − 𝑥)) = (𝑓‘(1 − 𝑦)))
15	14	cbvmptv 5255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑦)))
16	3, 4, 5, 6, 11, 12, 15	pi1xfrgim 25091	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))))
17		simprrl 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘0) = 𝐴)
18	17	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 𝐴))
19		pconnpi1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
20	18, 19	eqtr4di 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = 𝑃)
21		simprrr 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘1) = 𝐵)
22	21	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 𝐵))
23		pconnpi1.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
24	22, 23	eqtr4di 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = 𝑄)
25	20, 24	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))) = (𝑃 GrpIso 𝑄))
26	16, 25	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))
27		brgici 19289	. . 3 ⊢ (ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)
29	2, 28	rexlimddv 3161	1 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  [cec 8743  0cc0 11155  1c1 11156   − cmin 11492  [,]cicc 13390  Basecbs 17247   GrpIso cgim 19275   ≃_𝑔 cgic 19276  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232  IIcii 24901   ≃_phcphtpc 25001  *_𝑝cpco 25033   π₁ cpi1 25036  PConncpconn 35224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-mulg 19086  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-gic 19278  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-ii 24903  df-htpy 25002  df-phtpy 25003  df-phtpc 25024  df-pco 25038  df-om1 25039  df-pi1 25041  df-pconn 35226

This theorem is referenced by:  sconnpi1  35244