Theorem pconnpi1 35923

Description: All fundamental groups in a path-connected space are isomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pconnpi1.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
pconnpi1.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pconnpi1.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
pconnpi1.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑃)
pconnpi1.t	⊢ 𝑇 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
pconnpi1	⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)

Proof of Theorem pconnpi1

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pconnpi1.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	pconncn 35910	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 (𝑓‘1))
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
7		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ PConn)
8		pconntop 35911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
10	1	toptopon 23196	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11	9, 10	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12		simprl 783	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
13		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑦))
14	13	fveq2d 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘(1 − 𝑥)) = (𝑓‘(1 − 𝑦)))
15	14	cbvmptv 5208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑦)))
16	3, 4, 5, 6, 11, 12, 15	pi1xfrgim 25340	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))))
17		simprrl 793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘0) = 𝐴)
18	17	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 𝐴))
19		pconnpi1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
20	18, 19	eqtr4di 2813	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = 𝑃)
21		simprrr 794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘1) = 𝐵)
22	21	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 𝐵))
23		pconnpi1.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
24	22, 23	eqtr4di 2813	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = 𝑄)
25	20, 24	oveq12d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))) = (𝑃 GrpIso 𝑄))
26	16, 25	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))
27		brgici 19446	. . 3 ⊢ (ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)
28	26, 27	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)
29	2, 28	rexlimddv 3169	1 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4589  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5648  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  [cec 8693  0cc0 11171  1c1 11172   − cmin 11512  [,]cicc 13448  Basecbs 17348   GrpIso cgim 19432   ≃_𝑔 cgic 19433  Topctop 23172  TopOnctopon 23189   Cn ccn 23503  IIcii 25157   ≃_phcphtpc 25251  *_𝑝cpco 25282   π₁ cpi1 25285  PConncpconn 35905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-pt 17576  df-prds 17579  df-xrs 17635  df-qtop 17640  df-imas 17641  df-qus 17642  df-xps 17643  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-mulg 19239  df-ghm 19389  df-gim 19434  df-gic 19435  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-tx 23842  df-hmeo 24035  df-xms 24600  df-ms 24601  df-tms 24602  df-ii 25159  df-htpy 25252  df-phtpy 25253  df-phtpc 25274  df-pco 25287  df-om1 25288  df-pi1 25290  df-pconn 35907

This theorem is used by:  sconnpi1  35925