Theorem pconnpi1 35683

Description: All fundamental groups in a path-connected space are isomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pconnpi1.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
pconnpi1.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pconnpi1.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
pconnpi1.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑃)
pconnpi1.t	⊢ 𝑇 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
pconnpi1	⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)

Proof of Theorem pconnpi1

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pconnpi1.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	pconncn 35670	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 (𝑓‘1))
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
7		simpl1 1208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ PConn)
8		pconntop 35671	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
10	1	toptopon 23053	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11	9, 10	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12		simprl 782	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
13		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑦))
14	13	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘(1 − 𝑥)) = (𝑓‘(1 − 𝑦)))
15	14	cbvmptv 5214	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑦)))
16	3, 4, 5, 6, 11, 12, 15	pi1xfrgim 25196	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))))
17		simprrl 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘0) = 𝐴)
18	17	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 𝐴))
19		pconnpi1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
20	18, 19	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = 𝑃)
21		simprrr 793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘1) = 𝐵)
22	21	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 𝐵))
23		pconnpi1.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
24	22, 23	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = 𝑄)
25	20, 24	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))) = (𝑃 GrpIso 𝑄))
26	16, 25	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))
27		brgici 19340	. . 3 ⊢ (ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)
28	26, 27	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)
29	2, 28	rexlimddv 3170	1 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ⟨cop 4594  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  [cec 8691  0cc0 11099  1c1 11100   − cmin 11440  [,]cicc 13374  Basecbs 17268   GrpIso cgim 19326   ≃_𝑔 cgic 19327  Topctop 23029  TopOnctopon 23046   Cn ccn 23360  IIcii 25013   ≃_phcphtpc 25107  *_𝑝cpco 25138   π₁ cpi1 25141  PConncpconn 35665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-qus 17562  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-mulg 19133  df-ghm 19283  df-gim 19328  df-gic 19329  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-ii 25015  df-htpy 25108  df-phtpy 25109  df-phtpc 25130  df-pco 25143  df-om1 25144  df-pi1 25146  df-pconn 35667

This theorem is referenced by:  sconnpi1  35685