Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pconnpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pconnpi1 35242
Description: All fundamental groups in a path-connected space are isomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pconnpi1.x 𝑋 = 𝐽
pconnpi1.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pconnpi1.q 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
pconnpi1.s 𝑆 = (Base‘𝑃)
pconnpi1.t 𝑇 = (Base‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
pconnpi1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑃𝑔 𝑄)

Proof of Theorem pconnpi1
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pconnpi1.x . . 3 𝑋 = 𝐽
21pconncn 35229 . 2 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))
3 eqid 2737 . . . . 5 (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
4 eqid 2737 . . . . 5 (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 (𝑓‘1))
5 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
6 eqid 2737 . . . . 5 ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩)
7 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ PConn)
8 pconntop 35230 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
101toptopon 22923 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
119, 10sylib 218 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12 simprl 771 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
13 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑦))
1413fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘(1 − 𝑥)) = (𝑓‘(1 − 𝑦)))
1514cbvmptv 5255 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑦)))
163, 4, 5, 6, 11, 12, 15pi1xfrgim 25091 . . . 4 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))))
17 simprrl 781 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘0) = 𝐴)
1817oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 𝐴))
19 pconnpi1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
2018, 19eqtr4di 2795 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = 𝑃)
21 simprrr 782 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘1) = 𝐵)
2221oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 𝐵))
23 pconnpi1.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
2422, 23eqtr4di 2795 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = 𝑄)
2520, 24oveq12d 7449 . . . 4 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))) = (𝑃 GrpIso 𝑄))
2616, 25eleqtrd 2843 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))
27 brgici 19289 . . 3 (ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) → 𝑃𝑔 𝑄)
2826, 27syl 17 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑃𝑔 𝑄)
292, 28rexlimddv 3161 1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑃𝑔 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cop 4632   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  [cec 8743  0cc0 11155  1c1 11156  cmin 11492  [,]cicc 13390  Basecbs 17247   GrpIso cgim 19275  𝑔 cgic 19276  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232  IIcii 24901  phcphtpc 25001  *𝑝cpco 25033   π1 cpi1 25036  PConncpconn 35224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-mulg 19086  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-gic 19278  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-ii 24903  df-htpy 25002  df-phtpy 25003  df-phtpc 25024  df-pco 25038  df-om1 25039  df-pi1 25041  df-pconn 35226
This theorem is referenced by:  sconnpi1  35244
  Copyright terms: Public domain W3C validator