Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pconnpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pconnpi1 31818
 Description: All fundamental groups in a path-connected space are isomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pconnpi1.x 𝑋 = 𝐽
pconnpi1.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pconnpi1.q 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
pconnpi1.s 𝑆 = (Base‘𝑃)
pconnpi1.t 𝑇 = (Base‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
pconnpi1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑃𝑔 𝑄)

Proof of Theorem pconnpi1
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pconnpi1.x . . 3 𝑋 = 𝐽
21pconncn 31805 . 2 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))
3 eqid 2777 . . . . 5 (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
4 eqid 2777 . . . . 5 (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 (𝑓‘1))
5 eqid 2777 . . . . 5 (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
6 eqid 2777 . . . . 5 ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩)
7 simpl1 1199 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ PConn)
8 pconntop 31806 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
101toptopon 21129 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
119, 10sylib 210 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12 simprl 761 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
13 oveq2 6930 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑦))
1413fveq2d 6450 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘(1 − 𝑥)) = (𝑓‘(1 − 𝑦)))
1514cbvmptv 4985 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑦)))
163, 4, 5, 6, 11, 12, 15pi1xfrgim 23265 . . . 4 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))))
17 simprrl 771 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘0) = 𝐴)
1817oveq2d 6938 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 𝐴))
19 pconnpi1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
2018, 19syl6eqr 2831 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = 𝑃)
21 simprrr 772 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘1) = 𝐵)
2221oveq2d 6938 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 𝐵))
23 pconnpi1.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
2422, 23syl6eqr 2831 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = 𝑄)
2520, 24oveq12d 6940 . . . 4 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))) = (𝑃 GrpIso 𝑄))
2616, 25eleqtrd 2860 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))
27 brgici 18096 . . 3 (ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) → 𝑃𝑔 𝑄)
2826, 27syl 17 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑃𝑔 𝑄)
292, 28rexlimddv 3217 1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑃𝑔 𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4403  ∪ cuni 4671   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  ran crn 5356  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  [cec 8024  0cc0 10272  1c1 10273   − cmin 10606  [,]cicc 12490  Basecbs 16255   GrpIso cgim 18083   ≃𝑔 cgic 18084  Topctop 21105  TopOnctopon 21122   Cn ccn 21436  IIcii 23086   ≃phcphtpc 23176  *𝑝cpco 23207   π1 cpi1 23210  PConncpconn 31800 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-qus 16555  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-mulg 17928  df-ghm 18042  df-gim 18085  df-gic 18086  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-ii 23088  df-htpy 23177  df-phtpy 23178  df-phtpc 23199  df-pco 23212  df-om1 23213  df-pi1 23215  df-pconn 31802 This theorem is referenced by:  sconnpi1  31820
 Copyright terms: Public domain W3C validator