Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pconnpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pconnpi1 33888
Description: All fundamental groups in a path-connected space are isomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pconnpi1.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
pconnpi1.p 𝑃 = (𝐽 Ο€1 𝐴)
pconnpi1.q 𝑄 = (𝐽 Ο€1 𝐡)
pconnpi1.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pconnpi1.t 𝑇 = (Baseβ€˜π‘„)
Assertion
Ref Expression
pconnpi1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ≃𝑔 𝑄)

Proof of Theorem pconnpi1
Dummy variables 𝑓 β„Ž π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pconnpi1.x . . 3 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21pconncn 33875 . 2 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐽)((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))
3 eqid 2733 . . . . 5 (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) = (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))
4 eqid 2733 . . . . 5 (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜1)) = (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜1))
5 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) = (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)))
6 eqid 2733 . . . . 5 ran (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π‘“β€˜(1 βˆ’ π‘₯)))(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝑓))]( ≃phβ€˜π½)⟩) = ran (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π‘“β€˜(1 βˆ’ π‘₯)))(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝑓))]( ≃phβ€˜π½)⟩)
7 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ 𝐽 ∈ PConn)
8 pconntop 33876 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ PConn β†’ 𝐽 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
101toptopon 22282 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
119, 10sylib 217 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
12 simprl 770 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
13 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (1 βˆ’ π‘₯) = (1 βˆ’ 𝑦))
1413fveq2d 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘“β€˜(1 βˆ’ π‘₯)) = (π‘“β€˜(1 βˆ’ 𝑦)))
1514cbvmptv 5219 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π‘“β€˜(1 βˆ’ π‘₯))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘“β€˜(1 βˆ’ 𝑦)))
163, 4, 5, 6, 11, 12, 15pi1xfrgim 24437 . . . 4 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ ran (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π‘“β€˜(1 βˆ’ π‘₯)))(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝑓))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∈ ((𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) GrpIso (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜1))))
17 simprrl 780 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜0) = 𝐴)
1817oveq2d 7374 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) = (𝐽 Ο€1 𝐴))
19 pconnpi1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐽 Ο€1 𝐴)
2018, 19eqtr4di 2791 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) = 𝑃)
21 simprrr 781 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ (π‘“β€˜1) = 𝐡)
2221oveq2d 7374 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜1)) = (𝐽 Ο€1 𝐡))
23 pconnpi1.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐽 Ο€1 𝐡)
2422, 23eqtr4di 2791 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜1)) = 𝑄)
2520, 24oveq12d 7376 . . . 4 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ ((𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0)) GrpIso (𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜1))) = (𝑃 GrpIso 𝑄))
2616, 25eleqtrd 2836 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ ran (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π‘“β€˜(1 βˆ’ π‘₯)))(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝑓))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))
27 brgici 19065 . . 3 (ran (β„Ž ∈ βˆͺ (Baseβ€˜(𝐽 Ο€1 (π‘“β€˜0))) ↦ ⟨[β„Ž]( ≃phβ€˜π½), [((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π‘“β€˜(1 βˆ’ π‘₯)))(*π‘β€˜π½)(β„Ž(*π‘β€˜π½)𝑓))]( ≃phβ€˜π½)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) β†’ 𝑃 ≃𝑔 𝑄)
2826, 27syl 17 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((π‘“β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝐡))) β†’ 𝑃 ≃𝑔 𝑄)
292, 28rexlimddv 3155 1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ≃𝑔 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4593  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  [cec 8649  0cc0 11056  1c1 11057   βˆ’ cmin 11390  [,]cicc 13273  Basecbs 17088   GrpIso cgim 19052   ≃𝑔 cgic 19053  Topctop 22258  TopOnctopon 22275   Cn ccn 22591  IIcii 24254   ≃phcphtpc 24348  *𝑝cpco 24379   Ο€1 cpi1 24382  PConncpconn 33870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-ec 8653  df-qs 8657  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-qus 17396  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-mulg 18878  df-ghm 19011  df-gim 19054  df-gic 19055  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-ii 24256  df-htpy 24349  df-phtpy 24350  df-phtpc 24371  df-pco 24384  df-om1 24385  df-pi1 24387  df-pconn 33872
This theorem is referenced by:  sconnpi1  33890
  Copyright terms: Public domain W3C validator