Theorem pconnpi1 35628

Description: All fundamental groups in a path-connected space are isomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pconnpi1.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
pconnpi1.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pconnpi1.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
pconnpi1.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑃)
pconnpi1.t	⊢ 𝑇 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
pconnpi1	⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)

Proof of Theorem pconnpi1

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pconnpi1.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	pconncn 35615	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))
3		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 (𝑓‘1))
5		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
6		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
7		simpl1 1208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ PConn)
8		pconntop 35616	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
10	1	toptopon 23043	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11	9, 10	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12		simprl 782	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
13		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑦))
14	13	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘(1 − 𝑥)) = (𝑓‘(1 − 𝑦)))
15	14	cbvmptv 5219	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑦)))
16	3, 4, 5, 6, 11, 12, 15	pi1xfrgim 25186	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))))
17		simprrl 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘0) = 𝐴)
18	17	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 𝐴))
19		pconnpi1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
20	18, 19	eqtr4di 2822	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = 𝑃)
21		simprrr 793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘1) = 𝐵)
22	21	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 𝐵))
23		pconnpi1.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
24	22, 23	eqtr4di 2822	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = 𝑄)
25	20, 24	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))) = (𝑃 GrpIso 𝑄))
26	16, 25	eleqtrd 2871	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))
27		brgici 19341	. . 3 ⊢ (ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝑓))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)
28	26, 27	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)
29	2, 28	rexlimddv 3178	1 ⊢ ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑃 ≃𝑔 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4600  ∪ cuni 4876   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  [cec 8692  0cc0 11100  1c1 11101   − cmin 11441  [,]cicc 13375  Basecbs 17269   GrpIso cgim 19327   ≃_𝑔 cgic 19328  Topctop 23019  TopOnctopon 23036   Cn ccn 23350  IIcii 25003   ≃_phcphtpc 25097  *_𝑝cpco 25128   π₁ cpi1 25131  PConncpconn 35610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-qus 17563  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-mulg 19134  df-ghm 19284  df-gim 19329  df-gic 19330  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-ii 25005  df-htpy 25098  df-phtpy 25099  df-phtpc 25120  df-pco 25133  df-om1 25134  df-pi1 25136  df-pconn 35612

This theorem is referenced by:  sconnpi1  35630