Theorem brgrlic 48920

Description: The relation "is locally isomorphic to" for graphs. (Contributed by AV, 9-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
brgrlic	⊢ (𝑅 ≃𝑙𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphLocIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brgrlic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-grlic 48897	. 2 ⊢ ≃𝑙𝑔𝑟 = (◡ GraphLocIso “ (V ∖ 1o))
2		grlimfn 48895	. 2 ⊢ GraphLocIso Fn (V × V)
3	1, 2	brwitnlem 8494	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑙𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphLocIso 𝑆) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   × cxp 5653  (class class class)co 7413   GraphLocIso cgrlim 48892   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 48893

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8455  df-grlim 48894  df-grlic 48897

This theorem is used by:  brgrilci  48921  grlicrcl  48923  dfgrlic2  48924  dfgrlic3  48926  grilcbri2  48927  grlicen  48933  usgrexmpl12ngrlic  48955