Theorem usgrexmpl12ngrlic 47971

Description: The graphs 𝐻 and 𝐺 are not locally isomorphic (𝐻 contains a triangle, see usgrexmpl1tri 47957, whereas 𝐺 does not, see usgrexmpl2trifr 47969. (Contributed by AV, 24-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
usgrexmpl1.k	⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl12ngrlic	⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻

Proof of Theorem usgrexmpl12ngrlic

Dummy variables 𝑡 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...5)
2		usgrexmpl2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
3		usgrexmpl2.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	usgrexmpl2 47959	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph
5		usgruhgr 29193	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		grlicsym 47946	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺)
8		usgrexmpl1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
9		usgrexmpl1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩
10	1, 8, 9	usgrexmpl1tri 47957	. . 3 ⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)
11		brgrlic 47937	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺 ↔ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ≠ ∅)
12		n0 4352	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 GraphLocIso 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺))
13	11, 12	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺))
14	1, 2, 3	usgrexmpl2trifr 47969	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺)
15	1, 8, 9	usgrexmpl1 47954	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ USGraph
16		usgruspgr 29187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ USGraph → 𝐻 ∈ USPGraph)
17	15, 16	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐻 ∈ USPGraph)
18		usgruspgr 29187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
19	4, 18	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
20		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺))
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻))
22	17, 19, 20, 21	grlimgrtri 47936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺))
23	22	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
24		pm2.21 123	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
25	14, 23, 24	mpsylsyld 69	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
26	25	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
27	13, 26	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺 → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
28	7, 10, 27	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻 → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)
29	28	pm2.01i 189	1 ⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939  ∅c0 4332  {cpr 4626  {ctp 4628  ⟨cop 4630   class class class wbr 5141  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  0cc0 11151  1c1 11152  2c2 12317  3c3 12318  4c4 12319  5c5 12320  ...cfz 13543  ⟨“cs7 14881  UHGraphcuhgr 29063  USPGraphcuspgr 29155  USGraphcusgr 29156  GrTrianglescgrtri 47877   GraphLocIso cgrlim 47916   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 47917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-3o 8504  df-oadd 8506  df-er 8741  df-map 8864  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12875  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-s3 14884  df-s4 14885  df-s5 14886  df-s6 14887  df-s7 14888  df-vtx 29005  df-iedg 29006  df-edg 29055  df-uhgr 29065  df-upgr 29089  df-umgr 29090  df-uspgr 29157  df-usgr 29158  df-nbgr 29340  df-clnbgr 47779  df-isubgr 47820  df-grim 47837  df-gric 47840  df-grtri 47878  df-grlim 47918  df-grlic 47921

This theorem is referenced by: (None)