Theorem usgrexmpl12ngrlic 48285

Description: The graphs 𝐻 and 𝐺 are not locally isomorphic (𝐻 contains a triangle, see usgrexmpl1tri 48271, whereas 𝐺 does not, see usgrexmpl2trifr 48283. (Contributed by AV, 24-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
usgrexmpl1.k	⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl12ngrlic	⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻

Proof of Theorem usgrexmpl12ngrlic

Dummy variables 𝑡 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...5)
2		usgrexmpl2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
3		usgrexmpl2.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	usgrexmpl2 48273	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph
5		usgruhgr 29259	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		grlicsym 48259	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺)
8		usgrexmpl1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
9		usgrexmpl1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩
10	1, 8, 9	usgrexmpl1tri 48271	. . 3 ⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)
11		brgrlic 48250	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺 ↔ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ≠ ∅)
12		n0 4305	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 GraphLocIso 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺))
13	11, 12	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺))
14	1, 2, 3	usgrexmpl2trifr 48283	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺)
15	1, 8, 9	usgrexmpl1 48268	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ USGraph
16		usgruspgr 29253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ USGraph → 𝐻 ∈ USPGraph)
17	15, 16	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐻 ∈ USPGraph)
18		usgruspgr 29253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
19	4, 18	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
20		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺))
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻))
22	17, 19, 20, 21	grlimgrtri 48249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺))
23	22	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
24		pm2.21 123	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
25	14, 23, 24	mpsylsyld 69	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
26	25	exlimiv 1931	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
27	13, 26	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺 → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
28	7, 10, 27	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻 → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)
29	28	pm2.01i 189	1 ⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285  {cpr 4582  {ctp 4584  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  ...cfz 13423  ⟨“cs7 14769  UHGraphcuhgr 29129  USPGraphcuspgr 29221  USGraphcusgr 29222  GrTrianglescgrtri 48183   GraphLocIso cgrlim 48222   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 48223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-3o 8399  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-s1 14520  df-s2 14771  df-s3 14772  df-s4 14773  df-s5 14774  df-s6 14775  df-s7 14776  df-vtx 29071  df-iedg 29072  df-edg 29121  df-uhgr 29131  df-upgr 29155  df-umgr 29156  df-uspgr 29223  df-usgr 29224  df-nbgr 29406  df-clnbgr 48065  df-isubgr 48107  df-grim 48124  df-gric 48127  df-grtri 48184  df-grlim 48224  df-grlic 48227

This theorem is referenced by: (None)