Theorem usgrexmpl12ngrlic 47971

Description: The graphs 𝐻 and 𝐺 are not locally isomorphic (𝐻 contains a triangle, see usgrexmpl1tri 47957, whereas 𝐺 does not, see usgrexmpl2trifr 47969. (Contributed by AV, 24-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
usgrexmpl1.k	⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
usgrexmpl1.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl12ngrlic	⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻

Proof of Theorem usgrexmpl12ngrlic

Dummy variables 𝑡 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...5)
2		usgrexmpl2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
3		usgrexmpl2.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	usgrexmpl2 47959	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph
5		usgruhgr 29132	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		grlicsym 47946	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻 → 𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺)
8		usgrexmpl1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 3} {3, 4} {3, 5} {4, 5}”⟩
9		usgrexmpl1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, 𝐾⟩
10	1, 8, 9	usgrexmpl1tri 47957	. . 3 ⊢ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)
11		brgrlic 47937	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺 ↔ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ≠ ∅)
12		n0 4333	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 GraphLocIso 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺))
13	11, 12	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺))
14	1, 2, 3	usgrexmpl2trifr 47969	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺)
15	1, 8, 9	usgrexmpl1 47954	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ USGraph
16		usgruspgr 29126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ USGraph → 𝐻 ∈ USPGraph)
17	15, 16	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐻 ∈ USPGraph)
18		usgruspgr 29126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
19	4, 18	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
20		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → 𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺))
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻))
22	17, 19, 20, 21	grlimgrtri 47936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) ∧ {0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻)) → ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺))
23	22	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺)))
24		pm2.21 123	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
25	14, 23, 24	mpsylsyld 69	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
26	25	exlimiv 1929	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐻 GraphLocIso 𝐺) → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
27	13, 26	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐻 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐺 → ({0, 1, 2} ∈ (GrTriangles‘𝐻) → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻))
28	7, 10, 27	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻 → ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻)
29	28	pm2.01i 189	1 ⊢ ¬ 𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝐻

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∅c0 4313  {cpr 4608  {ctp 4610  ⟨cop 4612   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  0cc0 11137  1c1 11138  2c2 12303  3c3 12304  4c4 12305  5c5 12306  ...cfz 13529  ⟨“cs7 14868  UHGraphcuhgr 29002  USPGraphcuspgr 29094  USGraphcusgr 29095  GrTrianglescgrtri 47877   GraphLocIso cgrlim 47916   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 47917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-3o 8490  df-oadd 8492  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-dju 9923  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-n0 12510  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14353  df-word 14536  df-concat 14592  df-s1 14617  df-s2 14870  df-s3 14871  df-s4 14872  df-s5 14873  df-s6 14874  df-s7 14875  df-vtx 28944  df-iedg 28945  df-edg 28994  df-uhgr 29004  df-upgr 29028  df-umgr 29029  df-uspgr 29096  df-usgr 29097  df-nbgr 29279  df-clnbgr 47779  df-isubgr 47820  df-grim 47837  df-gric 47840  df-grtri 47878  df-grlim 47918  df-grlic 47921

This theorem is referenced by: (None)