Theorem grlicen 49209

Description: Locally isomorphic graphs have equinumerous sets of vertices. (Contributed by AV, 11-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grlicen.b	⊢ 𝐵 = (Vtx‘𝑅)
grlicen.c	⊢ 𝐶 = (Vtx‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
grlicen	⊢ (𝑅 ≃𝑙𝑔𝑟 𝑆 → 𝐵 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem grlicen

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgrlic 49196	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑙𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphLocIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4299	. . 3 ⊢ ((𝑅 GraphLocIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GraphLocIso 𝑆))
3		grlicen.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Vtx‘𝑅)
4		grlicen.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Vtx‘𝑆)
5	3, 4	grlimf1o 49177	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GraphLocIso 𝑆) → 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
6	3	fvexi 6900	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
7	6	f1oen 9003	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 → 𝐵 ≈ 𝐶)
8	5, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GraphLocIso 𝑆) → 𝐵 ≈ 𝐶)
9	8	exlimiv 1962	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GraphLocIso 𝑆) → 𝐵 ≈ 𝐶)
10	2, 9	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝑅 GraphLocIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝐵 ≈ 𝐶)
11	1, 10	sylbi 220	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑙𝑔𝑟 𝑆 → 𝐵 ≈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ≈ cen 8974  Vtxcvtx 29580   GraphLocIso cgrlim 49168   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 49169

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-1o 8480  df-en 8978  df-grlim 49170  df-grlic 49173

This theorem is used by: (None)