Theorem grlicen 48371

Description: Locally isomorphic graphs have equinumerous sets of vertices. (Contributed by AV, 11-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grlicen.b	⊢ 𝐵 = (Vtx‘𝑅)
grlicen.c	⊢ 𝐶 = (Vtx‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
grlicen	⊢ (𝑅 ≃𝑙𝑔𝑟 𝑆 → 𝐵 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem grlicen

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgrlic 48358	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑙𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphLocIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4307	. . 3 ⊢ ((𝑅 GraphLocIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GraphLocIso 𝑆))
3		grlicen.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Vtx‘𝑅)
4		grlicen.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Vtx‘𝑆)
5	3, 4	grlimf1o 48339	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GraphLocIso 𝑆) → 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
6	3	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
7	6	f1oen 8921	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 → 𝐵 ≈ 𝐶)
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GraphLocIso 𝑆) → 𝐵 ≈ 𝐶)
9	8	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GraphLocIso 𝑆) → 𝐵 ≈ 𝐶)
10	2, 9	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑅 GraphLocIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝐵 ≈ 𝐶)
11	1, 10	sylbi 217	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑙𝑔𝑟 𝑆 → 𝐵 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ≈ cen 8892  Vtxcvtx 29081   GraphLocIso cgrlim 48330   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 48331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-1o 8407  df-en 8896  df-grlim 48332  df-grlic 48335

This theorem is referenced by: (None)