Theorem grlicrcl 48660

Description: Reverse closure of the "is locally isomorphic to" relation for graphs. (Contributed by AV, 9-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grlicrcl	⊢ (𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝑆 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))

Proof of Theorem grlicrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgrlic 48657	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝐺 GraphLocIso 𝑆) ≠ ∅)
2		grlimdmrel 48633	. . . 4 ⊢ Rel dom GraphLocIso
3	2	ovprc 7449	. . 3 ⊢ (¬ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐺 GraphLocIso 𝑆) = ∅)
4	3	necon1ai 2991	. 2 ⊢ ((𝐺 GraphLocIso 𝑆) ≠ ∅ → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝐺 ≃𝑙𝑔𝑟 𝑆 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411   GraphLocIso cgrlim 48629   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 48630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-1o 8452  df-grlim 48631  df-grlic 48634

This theorem is referenced by:  grilcbri  48662  grlicsym  48666  grlictr  48668