Theorem canthwdom 9608

Description: Cantor's Theorem, stated using weak dominance (this is actually a stronger statement than canth2 9185, equivalent to canth 7403). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
canthwdom	⊢ ¬ 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴

Proof of Theorem canthwdom

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5322	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
2		ne0i 4290	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≠ ∅)
3	1, 2	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼* 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≠ ∅)
4		brwdomn0 9598	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ≠ ∅ → (𝒫 𝐴 ≼* 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝐴))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼* 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝐴))
6	5	ibi 270	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼* 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝐴)
7		relwdom 9595	. . . . 5 ⊢ Rel ≼*
8	7	brrelex2i 5713	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼* 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
9		foeq2 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥⟶onto𝒫 𝑥 ↔ 𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝑥))
10		pweq 4574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
11		foeq3 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴 → (𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝑥 ↔ 𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝐴))
12	10, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝑥 ↔ 𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝐴))
13	9, 12	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥⟶onto𝒫 𝑥 ↔ 𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝐴))
14	13	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑓:𝑥⟶onto𝒫 𝑥 ↔ ¬ 𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝐴))
15		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
16	15	canth 7403	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑓:𝑥⟶onto𝒫 𝑥
17	14, 16	vtoclg 3521	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ 𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝐴)
18	8, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼* 𝐴 → ¬ 𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝐴)
19	18	nexdv 1971	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼* 𝐴 → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝒫 𝐴)
20	6, 19	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  ⟶ontowfo 6562   ≼^* cwdom 9593

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7781

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-fo 6570  df-fv 6572  df-wdom 9594

This theorem is used by:  pwdjudom  10330