MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caufval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caufval 24792
Description: The set of Cauchy sequences on a metric space. (Contributed by NM, 8-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
caufval (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Cauβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)π‘₯)})
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,π‘₯,𝐷   𝑓,𝑋,π‘˜,π‘₯

Proof of Theorem caufval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cau 24773 . 2 Cau = (𝑑 ∈ βˆͺ ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (dom dom 𝑑 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π‘‘)π‘₯)})
2 dmeq 5904 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ dom 𝑑 = dom 𝐷)
32dmeqd 5906 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ dom dom 𝑑 = dom dom 𝐷)
4 xmetf 23835 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
54fdmd 6729 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
65dmeqd 5906 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ dom dom 𝐷 = dom (𝑋 Γ— 𝑋))
7 dmxpid 5930 . . . . . 6 dom (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
86, 7eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ dom dom 𝐷 = 𝑋)
93, 8sylan9eqr 2795 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ dom dom 𝑑 = 𝑋)
109oveq1d 7424 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (dom dom 𝑑 ↑pm β„‚) = (𝑋 ↑pm β„‚))
11 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ 𝑑 = 𝐷)
1211fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (ballβ€˜π‘‘) = (ballβ€˜π·))
1312oveqd 7426 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π‘‘)π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)π‘₯))
1413feq3d 6705 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ ((𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π‘‘)π‘₯) ↔ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)π‘₯)))
1514rexbidv 3179 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π‘‘)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)π‘₯)))
1615ralbidv 3178 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π‘‘)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)π‘₯)))
1710, 16rabeqbidv 3450 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ {𝑓 ∈ (dom dom 𝑑 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π‘‘)π‘₯)} = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)π‘₯)})
18 fvssunirn 6925 . . 3 (∞Metβ€˜π‘‹) βŠ† βˆͺ ran ∞Met
1918sseli 3979 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
20 ovex 7442 . . . 4 (𝑋 ↑pm β„‚) ∈ V
2120rabex 5333 . . 3 {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)π‘₯)} ∈ V
2221a1i 11 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)π‘₯)} ∈ V)
231, 17, 19, 22fvmptd2 7007 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Cauβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)π‘₯)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  β„*cxr 11247  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  Cauccau 24770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-xr 11252  df-xmet 20937  df-cau 24773
This theorem is referenced by:  iscau  24793  equivcau  24817
  Copyright terms: Public domain W3C validator