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Theorem cfilfcls 25220
Description: Similar to ultrafilters (uffclsflim 23953), the cluster points and limit points of a Cauchy filter coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cfilfcls.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
cfilfcls.2 𝑋 = dom dom 𝐷
Assertion
Ref Expression
cfilfcls (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐽 fClus 𝐹) = (𝐽 fLim 𝐹))

Proof of Theorem cfilfcls
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑟 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
21fclselbas 23938 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → 𝑥 𝐽)
32adantl 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) → 𝑥 𝐽)
4 df-cfil 25201 . . . . . . . . . . . 12 CauFil = (𝑑 ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Fil‘dom dom 𝑑) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑓 (𝑑 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)})
54mptrcl 7009 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ran ∞Met)
6 xmetunirn 24261 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
75, 6sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
8 cfilfcls.2 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = dom dom 𝐷
98fveq2i 6895 . . . . . . . . . 10 (∞Met‘𝑋) = (∞Met‘dom dom 𝐷)
107, 9eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1110adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12 cfilfcls.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1312mopntopon 24363 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1411, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15 toponuni 22834 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) → 𝑋 = 𝐽)
173, 16eleqtrrd 2828 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) → 𝑥𝑋)
1812mopni2 24420 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑥𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
19183expb 1117 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
2011, 19sylan 578 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
21 cfilfil 25213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2210, 21mpancom 686 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2322adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2511adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
26 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷))
27 rphalfcl 13033 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
2827adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
29 rphalfcl 13033 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
31 cfil3i 25215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)
3225, 26, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑋 (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)
3323ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
34 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)
3525adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3617ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → 𝑥𝑋)
37 rpxr 13015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
3837ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
39 blssm 24342 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
4035, 36, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
41 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹))
4228adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
4342rpxrd 13049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)
4412blopn 24427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽)
4535, 36, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽)
46 blcntr 24337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
4735, 36, 42, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
48 fclsopni 23937 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2))) ≠ ∅)
4941, 45, 47, 34, 48syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2))) ≠ ∅)
50 n0 4342 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2))) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2))))
5149, 50sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → ∃𝑧 𝑧 ∈ ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2))))
52 elin 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2))) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2))))
5335adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
54 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑦𝑋)
5542adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5655rpred 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
57 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))
58 blhalf 24329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ⊆ (𝑧(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
5953, 54, 56, 57, 58syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ⊆ (𝑧(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
60 blssm 24342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ 𝑋)
6135, 36, 43, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ 𝑋)
6261sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → 𝑧𝑋)
6362adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑧𝑋)
64 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
6564rpred 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
66 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
6755rpxrd 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)
6836adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑥𝑋)
69 blcom 24318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
7053, 67, 68, 63, 69syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
7166, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → 𝑥 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
72 blhalf 24329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝑧(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) → (𝑧(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
7353, 63, 65, 71, 72syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → (𝑧(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
7459, 73sstrd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
7574ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → ((𝑧 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
7652, 75biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → (𝑧 ∈ ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
7776exlimdv 1928 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → (∃𝑧 𝑧 ∈ ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
7851, 77mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
79 filss 23775 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
8033, 34, 40, 78, 79syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑟 / 2) / 2)) ∈ 𝐹)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
8132, 80rexlimddv 3151 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
8281ad2ant2r 745 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
83 toponss 22847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝑋)
8483adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝑋)
8514, 84sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝑋)
8685adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦𝑋)
87 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
88 filss 23775 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹𝑦𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦𝐹)
8924, 82, 86, 87, 88syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦𝐹)
9020, 89rexlimddv 3151 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝐹)
9190expr 455 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦𝑦𝐹))
9291ralrimiva 3136 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) → ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))
93 flimopn 23897 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
9414, 23, 93syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
9517, 92, 94mpbir2and 711 . . . 4 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
9695ex 411 . . 3 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝑥 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
9796ssrdv 3978 . 2 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐽 fClus 𝐹) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹))
98 flimfcls 23948 . . 3 (𝐽 fLim 𝐹) ⊆ (𝐽 fClus 𝐹)
9998a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐽 fLim 𝐹) ⊆ (𝐽 fClus 𝐹))
10097, 99eqssd 3990 1 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐽 fClus 𝐹) = (𝐽 fLim 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  cin 3938  wss 3939  c0 4318   cuni 4903   × cxp 5670  dom cdm 5672  ran crn 5673  cima 5675  cfv 6543  (class class class)co 7416  cr 11137  0cc0 11138  *cxr 11277   / cdiv 11901  2c2 12297  +crp 13006  [,)cico 13358  ∞Metcxmet 21268  ballcbl 21270  MetOpencmopn 21273  TopOnctopon 22830  Filcfil 23767   fLim cflim 23856   fClus cfcls 23858  CauFilccfil 25198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ico 13362  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-fil 23768  df-flim 23861  df-fcls 23863  df-cfil 25201
This theorem is referenced by:  relcmpcmet  25264
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