Theorem equivcau 24197

Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐶 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝐷(𝑥, 𝑦)), all the 𝐷-Cauchy sequences are also 𝐶-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivcau.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivcau.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
equivcau	⊢ (𝜑 → (Cau‘𝐷) ⊆ (Cau‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem equivcau

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2		equivcau.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4	1, 3	rpdivcld 12645	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
5		oveq2 7221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) = ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
6	5	feq3d 6532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅))))
7	6	rexbidv 3216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅))))
8	7	rspcv 3532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅))))
9	4, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅))))
10		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
11		elpmi 8527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) → (𝑓:dom 𝑓⟶𝑋 ∧ dom 𝑓 ⊆ ℂ))
12	11	simpld 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) → 𝑓:dom 𝑓⟶𝑋)
13	12	ad3antlr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → 𝑓:dom 𝑓⟶𝑋)
14		resss 5876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)) ⊆ 𝑓
15		dmss 5771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)) ⊆ 𝑓 → dom (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)) ⊆ dom 𝑓)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)) ⊆ dom 𝑓
17		uzid 12453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
18	17	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
19		fdm 6554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) → dom (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)) = (ℤ≥‘𝑘))
20	19	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → dom (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)) = (ℤ≥‘𝑘))
21	18, 20	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → 𝑘 ∈ dom (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)))
22	16, 21	sseldi 3899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → 𝑘 ∈ dom 𝑓)
23	13, 22	ffvelrnd 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → (𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋)
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘𝐶)
25		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
26		equivcau.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
27		equivcau.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
28		equivcau.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
29	24, 25, 26, 27, 2, 28	metss2lem 23409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
30	29	expr 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
31	30	ralrimiva 3105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
32	31	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
33		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
34		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) = ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
35		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) = ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟))
36	34, 35	sseq12d 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ↔ ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)))
37	36	imbi2d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → ((𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)) ↔ (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟))))
38	37	rspcv 3532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)) → (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟))))
39	23, 32, 33, 38	syl3c 66	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟))
40	10, 39	fssd 6563	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟))
41	40	expr 460	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)))
42	41	reximdva 3193	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)))
43	9, 42	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)))
44	43	ralrimdva 3110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)))
45	44	ss2rabdv 3989	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∣ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠)} ⊆ {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∣ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)})
46		metxmet 23232	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
47		caufval 24172	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘𝐷) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∣ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠)})
48	27, 46, 47	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (Cau‘𝐷) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∣ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠)})
49		metxmet 23232	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
50		caufval 24172	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘𝐶) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∣ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)})
51	26, 49, 50	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (Cau‘𝐶) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∣ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)})
52	45, 48, 51	3sstr4d 3948	1 ⊢ (𝜑 → (Cau‘𝐷) ⊆ (Cau‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  dom cdm 5551   ↾ cres 5553  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ↑_pm cpm 8509  ℂcc 10727   · cmul 10734   ≤ cle 10868   / cdiv 11489  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ℝ⁺crp 12586  ∞Metcxmet 20348  Metcmet 20349  ballcbl 20350  MetOpencmopn 20353  Cauccau 24150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-xadd 12705  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-cau 24153

This theorem is referenced by: (None)