Theorem equivcau 25207

Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐶 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝐷(𝑥, 𝑦)), all the 𝐷-Cauchy sequences are also 𝐶-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivcau.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
equivcau.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivcau.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
equivcau	⊢ (𝜑 → (Cau‘𝐷) ⊆ (Cau‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem equivcau

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2		equivcau.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4	1, 3	rpdivcld 13019	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
5		oveq2 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) = ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
6	5	feq3d 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅))))
7	6	rexbidv 3158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅))))
8	7	rspcv 3587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅))))
9	4, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅))))
10		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
11		elpmi 8822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) → (𝑓:dom 𝑓⟶𝑋 ∧ dom 𝑓 ⊆ ℂ))
12	11	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) → 𝑓:dom 𝑓⟶𝑋)
13	12	ad3antlr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → 𝑓:dom 𝑓⟶𝑋)
14		resss 5975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)) ⊆ 𝑓
15		dmss 5869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)) ⊆ 𝑓 → dom (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)) ⊆ dom 𝑓)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)) ⊆ dom 𝑓
17		uzid 12815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
18	17	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
19		fdm 6700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) → dom (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)) = (ℤ≥‘𝑘))
20	19	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → dom (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)) = (ℤ≥‘𝑘))
21	18, 20	eleqtrrd 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → 𝑘 ∈ dom (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)))
22	16, 21	sselid 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → 𝑘 ∈ dom 𝑓)
23	13, 22	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → (𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋)
24		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘𝐶)
25		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
26		equivcau.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
27		equivcau.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
28		equivcau.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
29	24, 25, 26, 27, 2, 28	metss2lem 24406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
30	29	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
31	30	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
32	31	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
33		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
34		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) = ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
35		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) = ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟))
36	34, 35	sseq12d 3983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → ((𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ↔ ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)))
37	36	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → ((𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)) ↔ (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟))))
38	37	rspcv 3587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑘) ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)) → (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟))))
39	23, 32, 33, 38	syl3c 66	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟))
40	10, 39	fssd 6708	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟))
41	40	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)))
42	41	reximdva 3147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)))
43	9, 42	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)))
44	43	ralrimdva 3134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)))
45	44	ss2rabdv 4042	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∣ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠)} ⊆ {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∣ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)})
46		metxmet 24229	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
47		caufval 25182	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘𝐷) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∣ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠)})
48	27, 46, 47	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (Cau‘𝐷) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∣ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐷)𝑠)})
49		metxmet 24229	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
50		caufval 25182	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘𝐶) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∣ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)})
51	26, 49, 50	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (Cau‘𝐶) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∣ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶((𝑓‘𝑘)(ball‘𝐶)𝑟)})
52	45, 48, 51	3sstr4d 4005	1 ⊢ (𝜑 → (Cau‘𝐷) ⊆ (Cau‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  dom cdm 5641   ↾ cres 5643  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_pm cpm 8803  ℂcc 11073   · cmul 11080   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  ∞Metcxmet 21256  Metcmet 21257  ballcbl 21258  MetOpencmopn 21261  Cauccau 25160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-cau 25163

This theorem is referenced by: (None)