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Theorem equivcau 24667
Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐢 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐢(π‘₯, 𝑦) ≀ 𝑅 Β· 𝐷(π‘₯, 𝑦)), all the 𝐷-Cauchy sequences are also 𝐢-Cauchy. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they have the same Cauchy sequences.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivcau.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivcau.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivcau.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
equivcau.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivcau (πœ‘ β†’ (Cauβ€˜π·) βŠ† (Cauβ€˜πΆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦

Proof of Theorem equivcau
Dummy variables 𝑓 π‘˜ π‘Ÿ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2 equivcau.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
32ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
41, 3rpdivcld 12975 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 𝑅) ∈ ℝ+)
5 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)𝑠) = ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))
65feq3d 6656 . . . . . . . 8 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ ((𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)𝑠) ↔ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅))))
76rexbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)𝑠) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅))))
87rspcv 3578 . . . . . 6 ((π‘Ÿ / 𝑅) ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)𝑠) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅))))
94, 8syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)𝑠) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅))))
10 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))) β†’ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))
11 elpmi 8785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) β†’ (𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘‹ ∧ dom 𝑓 βŠ† β„‚))
1211simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) β†’ 𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘‹)
1312ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))) β†’ 𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘‹)
14 resss 5963 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) βŠ† 𝑓
15 dmss 5859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) βŠ† 𝑓 β†’ dom (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) βŠ† dom 𝑓)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) βŠ† dom 𝑓
17 uzid 12779 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
19 fdm 6678 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) β†’ dom (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
2019ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))) β†’ dom (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
2118, 20eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))) β†’ π‘˜ ∈ dom (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)))
2216, 21sselid 3943 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝑓)
2313, 22ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
24 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpenβ€˜πΆ) = (MetOpenβ€˜πΆ)
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
26 equivcau.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
27 equivcau.2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
28 equivcau.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
2924, 25, 26, 27, 2, 28metss2lem 23870 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
3029expr 458 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)))
3130ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)))
3231ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)))
33 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
34 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) = ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))
35 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) = ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
3634, 35sseq12d 3978 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ↔ ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)))
3736imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)) ↔ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))))
3837rspcv 3578 . . . . . . . . 9 ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))))
3923, 32, 33, 38syl3c 66 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† ((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
4010, 39fssd 6687 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))) β†’ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
4140expr 458 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) β†’ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)))
4241reximdva 3166 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)))
439, 42syld 47 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)𝑠) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)))
4443ralrimdva 3152 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)𝑠) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)))
4544ss2rabdv 4034 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)𝑠)} βŠ† {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)})
46 metxmet 23690 . . 3 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
47 caufval 24642 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Cauβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)𝑠)})
4827, 46, 473syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (Cauβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)𝑠)})
49 metxmet 23690 . . 3 (𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
50 caufval 24642 . . 3 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Cauβ€˜πΆ) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)})
5126, 49, 503syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (Cauβ€˜πΆ) = {𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∣ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑓 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)⟢((π‘“β€˜π‘˜)(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)})
5245, 48, 513sstr4d 3992 1 (πœ‘ β†’ (Cauβ€˜π·) βŠ† (Cauβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3408   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑pm cpm 8767  β„‚cc 11050   Β· cmul 11057   ≀ cle 11191   / cdiv 11813  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  β„+crp 12916  βˆžMetcxmet 20784  Metcmet 20785  ballcbl 20786  MetOpencmopn 20789  Cauccau 24620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-cau 24623
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