Theorem clnbgredg 48756

Description: A vertex connected by an edge with another vertex is a neighbor of that vertex. (Contributed by AV, 24-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
clnbgredg.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
clnbgredg	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem clnbgredg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbgredg.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐸 ↔ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
3	2	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐸 → 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
5		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑌 ∈ 𝐾)
6	4, 5	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾))
7	6	anim2i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)))
8		3anass 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) ↔ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)))
9	7, 8	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾))
10		uhgredgrnv 29587	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
12		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
13	4, 12	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾))
14	13	anim2i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)))
15		3anass 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) ↔ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)))
16	14, 15	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾))
17		uhgredgrnv 29587	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
19		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝐸)
20		sseq2 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐾 → ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾))
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑒 = 𝐾) → ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾))
22		prssi 4782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
23	22	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
24	23	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
25	19, 21, 24	rspcedvd 3578	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒)
26	25	olcd 888	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝑌 = 𝑋 ∨ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒))
27		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28	27, 1	clnbgrel 48744	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑌 = 𝑋 ∨ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒)))
29	11, 18, 26, 28	syl21anbrc 1363	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋))
30		clnbgredg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
31	30	eleq2i 2852	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋))
32	29, 31	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Vtxcvtx 29453  Edgcedg 29504  UHGraphcuhgr 29513   ClNeighbVtx cclnbgr 48734

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-edg 29505  df-uhgr 29515  df-clnbgr 48735

This theorem is used by:  clnbgrssedg  48757  grlimgrtrilem1  48917