Theorem clnbgredg 48328

Description: A vertex connected by an edge with another vertex is a neighbor of that vertex. (Contributed by AV, 24-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
clnbgredg.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
clnbgredg	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem clnbgredg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbgredg.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐸 ↔ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
3	2	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐸 → 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
4	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
5		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑌 ∈ 𝐾)
6	4, 5	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾))
7	6	anim2i 618	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)))
8		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) ↔ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)))
9	7, 8	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾))
10		uhgredgrnv 29213	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
12		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
13	4, 12	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾))
14	13	anim2i 618	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)))
15		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) ↔ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)))
16	14, 15	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾))
17		uhgredgrnv 29213	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
19		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝐸)
20		sseq2 3949	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐾 → ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾))
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑒 = 𝐾) → ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾))
22		prssi 4765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
23	22	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
24	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
25	19, 21, 24	rspcedvd 3567	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒)
26	25	olcd 875	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝑌 = 𝑋 ∨ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒))
27		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28	27, 1	clnbgrel 48316	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑌 = 𝑋 ∨ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒)))
29	11, 18, 26, 28	syl21anbrc 1346	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋))
30		clnbgredg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
31	30	eleq2i 2829	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋))
32	29, 31	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  {cpr 4570  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Vtxcvtx 29079  Edgcedg 29130  UHGraphcuhgr 29139   ClNeighbVtx cclnbgr 48306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-edg 29131  df-uhgr 29141  df-clnbgr 48307

This theorem is referenced by:  clnbgrssedg  48329  grlimgrtrilem1  48489