Theorem clnbgredg 48423

Description: A vertex connected by an edge with another vertex is a neighbor of that vertex. (Contributed by AV, 24-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
clnbgredg.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
clnbgredg	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem clnbgredg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbgredg.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐸 ↔ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
3	2	biimpi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐸 → 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
4	3	3ad2ant1 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
5		simp3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑌 ∈ 𝐾)
6	4, 5	jca 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾))
7	6	anim2i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)))
8		3anass 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) ↔ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)))
9	7, 8	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾))
10		uhgredgrnv 29288	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
12		simp2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
13	4, 12	jca 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾))
14	13	anim2i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)))
15		3anass 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) ↔ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)))
16	14, 15	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾))
17		uhgredgrnv 29288	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
19		simpr1 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝐸)
20		sseq2 3960	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐾 → ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾))
21	20	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑒 = 𝐾) → ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾))
22		prssi 4776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
23	22	3adant1 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
24	23	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
25	19, 21, 24	rspcedvd 3582	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒)
26	25	olcd 885	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝑌 = 𝑋 ∨ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒))
27		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28	27, 1	clnbgrel 48411	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑌 = 𝑋 ∨ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒)))
29	11, 18, 26, 28	syl21anbrc 1357	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋))
30		clnbgredg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
31	30	eleq2i 2853	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋))
32	29, 31	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3902  {cpr 4581  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Vtxcvtx 29154  Edgcedg 29205  UHGraphcuhgr 29214   ClNeighbVtx cclnbgr 48401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-edg 29206  df-uhgr 29216  df-clnbgr 48402

This theorem is referenced by:  clnbgrssedg  48424  grlimgrtrilem1  48584