Theorem clnbgredg 47799

Description: A vertex connected by an edge with another vertex is a neighbor of that vertex. (Contributed by AV, 24-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
clnbgredg.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
clnbgredg	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem clnbgredg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbgredg.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐸 ↔ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
3	2	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐸 → 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
4	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
5		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑌 ∈ 𝐾)
6	4, 5	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾))
7	6	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)))
8		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) ↔ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)))
9	7, 8	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾))
10		uhgredgrnv 29076	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
12		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
13	4, 12	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾))
14	13	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)))
15		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) ↔ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)))
16	14, 15	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾))
17		uhgredgrnv 29076	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
19		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝐸)
20		sseq2 3990	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐾 → ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾))
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑒 = 𝐾) → ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾))
22		prssi 4801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
23	22	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
24	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
25	19, 21, 24	rspcedvd 3607	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒)
26	25	olcd 874	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝑌 = 𝑋 ∨ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒))
27		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28	27, 1	clnbgrel 47788	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑌 = 𝑋 ∨ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒)))
29	11, 18, 26, 28	syl21anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋))
30		clnbgredg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
31	30	eleq2i 2825	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋))
32	29, 31	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3931  {cpr 4608  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Vtxcvtx 28942  Edgcedg 28993  UHGraphcuhgr 29002   ClNeighbVtx cclnbgr 47778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-edg 28994  df-uhgr 29004  df-clnbgr 47779

This theorem is referenced by:  clnbgrssedg  47800  grlimgrtrilem1  47934