Theorem clnbgredg 47713

Description: A vertex connected by an edge with another vertex is a neighbor of that vertex. (Contributed by AV, 24-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
clnbgredg.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
clnbgredg	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem clnbgredg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbgredg.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐸 ↔ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
3	2	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐸 → 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
4	3	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺))
5		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑌 ∈ 𝐾)
6	4, 5	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾))
7	6	anim2i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)))
8		3anass 1093	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) ↔ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)))
9	7, 8	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾))
10		uhgredgrnv 29143	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
12		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
13	4, 12	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾))
14	13	anim2i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)))
15		3anass 1093	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) ↔ (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾)))
16	14, 15	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾))
17		uhgredgrnv 29143	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐾 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
19		simpr1 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝐸)
20		sseq2 4022	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐾 → ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾))
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑒 = 𝐾) → ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾))
22		prssi 4828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
23	22	3adant1 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
24	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐾)
25	19, 21, 24	rspcedvd 3624	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒)
26	25	olcd 873	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → (𝑌 = 𝑋 ∨ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒))
27		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28	27, 1	clnbgrel 47702	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑌 = 𝑋 ∨ ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑒)))
29	11, 18, 26, 28	syl21anbrc 1342	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋))
30		clnbgredg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
31	30	eleq2i 2829	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋))
32	29, 31	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐾 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1535   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3066   ⊆ wss 3963  {cpr 4632  ‘cfv 6558  (class class class)co 7425  Vtxcvtx 29009  Edgcedg 29060  UHGraphcuhgr 29069   ClNeighbVtx cclnbgr 47693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5430  ax-un 7747

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-edg 29061  df-uhgr 29071  df-clnbgr 47694

This theorem is referenced by:  clnbgrssedg  47714  grlimgrtrilem1  47819