Theorem grlimgrtrilem1 48492

Description: Lemma 3 for grlimgrtri 48494. (Contributed by AV, 24-Aug-2025.) (Proof shortened by AV, 27-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grlimgrtrilem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grlimgrtrilem1.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑎)
grlimgrtrilem1.i	⊢ 𝐼 = (Edg‘𝐺)
grlimgrtrilem1.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
grlimgrtrilem1	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐾 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐾 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑎   𝑥,𝑏   𝑥,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐼(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐾(𝑥,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑁(𝑎,𝑏,𝑐)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem grlimgrtrilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		simp1 1142	. . . 4 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼)
3	2	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼)
4		vex 3435	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
5	4	prid1 4694	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏}
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏})
7		grlimgrtrilem1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑎)
8		grlimgrtrilem1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Edg‘𝐺)
9		grlimgrtrilem1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑁}
10	7, 8, 9	clnbgrvtxedg 48485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏}) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐾)
11	1, 3, 6, 10	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐾)
12		simp2 1143	. . . 4 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼) → {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼)
13	12	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼)
14	4	prid1 4694	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑐}
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑐})
16	7, 8, 9	clnbgrvtxedg 48485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑐}) → {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐾)
17	1, 13, 15, 16	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐾)
18		simpr3 1203	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)
19	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏})
20		vex 3435	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
21	20	prid2 4695	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏}
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏})
23	2, 19, 22	3jca 1134	. . . . 5 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏}))
24	8, 7	clnbgredg 48331	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑏 ∈ {𝑎, 𝑏})) → 𝑏 ∈ 𝑁)
25	23, 24	sylan2 599	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → 𝑏 ∈ 𝑁)
26	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑐})
27		vex 3435	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑐 ∈ V
28	27	prid2 4695	. . . . . . 7 ⊢ 𝑐 ∈ {𝑎, 𝑐}
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼) → 𝑐 ∈ {𝑎, 𝑐})
30	12, 26, 29	3jca 1134	. . . . 5 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼) → ({𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑐} ∧ 𝑐 ∈ {𝑎, 𝑐}))
31	8, 7	clnbgredg 48331	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑐} ∧ 𝑐 ∈ {𝑎, 𝑐})) → 𝑐 ∈ 𝑁)
32	30, 31	sylan2 599	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → 𝑐 ∈ 𝑁)
33	25, 32	prssd 4753	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → {𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑁)
34		sseq1 3940	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑏, 𝑐} → (𝑥 ⊆ 𝑁 ↔ {𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑁))
35	34, 9	elrab2 3632	. . 3 ⊢ ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐾 ↔ ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑁))
36	18, 33, 35	sylanbrc 589	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐾)
37	11, 17, 36	3jca 1134	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐼 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐼 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐼)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐾 ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ 𝐾 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391   ⊆ wss 3883  {cpr 4557  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Vtxcvtx 29083  Edgcedg 29134  UHGraphcuhgr 29143   ClNeighbVtx cclnbgr 48309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-edg 29135  df-uhgr 29145  df-clnbgr 48310

This theorem is referenced by:  grlimgrtri  48494