Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clsneifv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clsneifv3 42474
Description: Value of the neighborhoods (convergents) in terms of the closure (interior) function. (Contributed by RP, 27-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clsnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
clsnei.p 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (π‘œ ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 βˆ– (π‘β€˜(𝑛 βˆ– π‘œ))))))
clsnei.d 𝐷 = (π‘ƒβ€˜π΅)
clsnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
clsnei.h 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsnei.r (πœ‘ β†’ 𝐾𝐻𝑁)
clsneifv.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
clsneifv3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ Β¬ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠))})
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠   𝐡,𝑛,π‘œ,𝑝,𝑠   𝐷,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š   𝐷,𝑛,π‘œ,𝑝   𝑖,𝐹,𝑗,π‘˜,𝑙   𝑛,𝐹,π‘œ,𝑝   𝑖,𝐾,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š   𝑛,𝐾,π‘œ,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠   𝑛,𝑁,π‘œ,𝑝   𝑋,𝑙,π‘š,𝑠   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠   πœ‘,𝑛,π‘œ,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐷(𝑠)   𝑃(𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘œ,𝑠,𝑝,𝑙)   𝐹(π‘š,𝑠)   𝐻(𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘œ,𝑠,𝑝,𝑙)   𝐾(𝑠)   𝑁(π‘š)   𝑂(𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘œ,𝑠,𝑝,𝑙)   𝑋(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘œ,𝑝)

Proof of Theorem clsneifv3
StepHypRef Expression
1 dfin5 3922 . 2 (𝒫 𝐡 ∩ (π‘β€˜π‘‹)) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘‹)}
2 clsnei.o . . . . . . 7 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
3 clsnei.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (π‘œ ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 βˆ– (π‘β€˜(𝑛 βˆ– π‘œ))))))
4 clsnei.d . . . . . . 7 𝐷 = (π‘ƒβ€˜π΅)
5 clsnei.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
6 clsnei.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
7 clsnei.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾𝐻𝑁)
82, 3, 4, 5, 6, 7clsneinex 42471 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐡 ↑m 𝐡))
9 elmapi 8793 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐡 ↑m 𝐡) β†’ 𝑁:π΅βŸΆπ’« 𝒫 𝐡)
108, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁:π΅βŸΆπ’« 𝒫 𝐡)
11 clsneifv.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1210, 11ffvelcdmd 7040 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ 𝒫 𝒫 𝐡)
1312elpwid 4573 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) βŠ† 𝒫 𝐡)
14 sseqin2 4179 . . 3 ((π‘β€˜π‘‹) βŠ† 𝒫 𝐡 ↔ (𝒫 𝐡 ∩ (π‘β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜π‘‹))
1513, 14sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝒫 𝐡 ∩ (π‘β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜π‘‹))
167adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐾𝐻𝑁)
1711adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
18 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
192, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18clsneiel2 42473 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (πΎβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) ↔ Β¬ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘‹)))
2019con2bid 355 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘‹) ↔ Β¬ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠))))
2120rabbidva 3413 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘‹)} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ Β¬ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠))})
221, 15, 213eqtr3a 2797 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ Β¬ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363   ↑m cmap 8771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator