Theorem clsneifv3 44455

Description: Value of the neighborhoods (convergents) in terms of the closure (interior) function. (Contributed by RP, 27-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
clsnei.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
clsnei.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
clsnei.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
clsneifv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
clsneifv3	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘(𝐵 ∖ 𝑠))})

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝,𝑠   𝐷,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐷,𝑛,𝑜,𝑝   𝑖,𝐹,𝑗,𝑘,𝑙   𝑛,𝐹,𝑜,𝑝   𝑖,𝐾,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑛,𝐾,𝑜,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠   𝑛,𝑁,𝑜,𝑝   𝑋,𝑙,𝑚,𝑠   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐷(𝑠)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑠,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑚,𝑠)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑠,𝑝,𝑙)   𝐾(𝑠)   𝑁(𝑚)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑠,𝑝,𝑙)   𝑋(𝑖,𝑗,𝑘,𝑛,𝑜,𝑝)

Proof of Theorem clsneifv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfin5 3911	. 2 ⊢ (𝒫 𝐵 ∩ (𝑁‘𝑋)) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋)}
2		clsnei.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
3		clsnei.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
4		clsnei.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
5		clsnei.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
6		clsnei.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
7		clsnei.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	clsneinex 44452	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))
9		elmapi 8798	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵) → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
11		clsneifv.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	ffvelcdmd 7039	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝒫 𝒫 𝐵)
13	12	elpwid 4565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ⊆ 𝒫 𝐵)
14		sseqin2 4177	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ⊆ 𝒫 𝐵 ↔ (𝒫 𝐵 ∩ (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
15	13, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐵 ∩ (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
16	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐾𝐻𝑁)
17	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
19	2, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18	clsneiel2 44454	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐾‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ↔ ¬ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋)))
20	19	con2bid 354	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋) ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
21	20	rabbidva 3407	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋)} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘(𝐵 ∖ 𝑠))})
22	1, 15, 21	3eqtr3a 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾‘(𝐵 ∖ 𝑠))})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   ↑_m cmap 8775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-map 8777

This theorem is referenced by: (None)