Theorem clsneifv4 44073

Description: Value of the closure (interior) function in terms of the neighborhoods (convergents) function. (Contributed by RP, 27-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
clsnei.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
clsnei.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
clsnei.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
clsneifv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
clsneifv4	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑁‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑥   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝,𝑥   𝐷,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐷,𝑛,𝑜,𝑝   𝑖,𝐹,𝑗,𝑘,𝑙   𝑛,𝐹,𝑜,𝑝   𝑖,𝐾,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑥   𝑛,𝐾,𝑜,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙   𝑛,𝑁,𝑜,𝑝   𝑆,𝑚,𝑥   𝑆,𝑜   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑘,𝑛,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem clsneifv4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfin5 3984	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐾‘𝑆)) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ∈ (𝐾‘𝑆)}
2		clsnei.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
3		clsnei.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
4		clsnei.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
5		clsnei.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
6		clsnei.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
7		clsnei.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	clsneikex 44068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
9		elmapi 8907	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐾:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
11		clsneifv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
12	10, 11	ffvelcdmd 7119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)
13	12	elpwid 4631	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝐵)
14		sseqin2 4244	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝑆) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ (𝐾‘𝑆)) = (𝐾‘𝑆))
15	13, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (𝐾‘𝑆)) = (𝐾‘𝑆))
16	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐾𝐻𝑁)
17		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
19	2, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18	clsneiel1 44070	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑆) ↔ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑁‘𝑥)))
20	19	rabbidva 3450	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ∈ (𝐾‘𝑆)} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑁‘𝑥)})
21	1, 15, 20	3eqtr3a 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑁‘𝑥)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450   ↑_m cmap 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886

This theorem is referenced by: (None)