Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clsneifv4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clsneifv4 43541
Description: Value of the closure (interior) function in terms of the neighborhoods (convergents) function. (Contributed by RP, 27-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clsnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
clsnei.p 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (π‘œ ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 βˆ– (π‘β€˜(𝑛 βˆ– π‘œ))))))
clsnei.d 𝐷 = (π‘ƒβ€˜π΅)
clsnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
clsnei.h 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsnei.r (πœ‘ β†’ 𝐾𝐻𝑁)
clsneifv.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
Assertion
Ref Expression
clsneifv4 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π‘†) = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ Β¬ (𝐡 βˆ– 𝑆) ∈ (π‘β€˜π‘₯)})
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,π‘₯   𝐡,𝑛,π‘œ,𝑝,π‘₯   𝐷,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š   𝐷,𝑛,π‘œ,𝑝   𝑖,𝐹,𝑗,π‘˜,𝑙   𝑛,𝐹,π‘œ,𝑝   𝑖,𝐾,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,π‘₯   𝑛,𝐾,π‘œ,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,π‘˜,𝑙   𝑛,𝑁,π‘œ,𝑝   𝑆,π‘š,π‘₯   𝑆,π‘œ   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘œ,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐷(π‘₯)   𝑃(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘œ,𝑝,𝑙)   𝑆(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑝,𝑙)   𝐹(π‘₯,π‘š)   𝐻(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘œ,𝑝,𝑙)   𝑁(π‘₯,π‘š)   𝑂(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘œ,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem clsneifv4
StepHypRef Expression
1 dfin5 3955 . 2 (𝐡 ∩ (πΎβ€˜π‘†)) = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ (πΎβ€˜π‘†)}
2 clsnei.o . . . . . . 7 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
3 clsnei.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (π‘œ ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 βˆ– (π‘β€˜(𝑛 βˆ– π‘œ))))))
4 clsnei.d . . . . . . 7 𝐷 = (π‘ƒβ€˜π΅)
5 clsnei.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
6 clsnei.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
7 clsnei.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾𝐻𝑁)
82, 3, 4, 5, 6, 7clsneikex 43536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
9 elmapi 8868 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐾:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
108, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
11 clsneifv.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
1210, 11ffvelcdmd 7095 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π‘†) ∈ 𝒫 𝐡)
1312elpwid 4612 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π‘†) βŠ† 𝐡)
14 sseqin2 4215 . . 3 ((πΎβ€˜π‘†) βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 ∩ (πΎβ€˜π‘†)) = (πΎβ€˜π‘†))
1513, 14sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (πΎβ€˜π‘†)) = (πΎβ€˜π‘†))
167adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾𝐻𝑁)
17 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1811adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
192, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18clsneiel1 43538 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΎβ€˜π‘†) ↔ Β¬ (𝐡 βˆ– 𝑆) ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
2019rabbidva 3436 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ (πΎβ€˜π‘†)} = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ Β¬ (𝐡 βˆ– 𝑆) ∈ (π‘β€˜π‘₯)})
211, 15, 203eqtr3a 2792 1 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜π‘†) = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ Β¬ (𝐡 βˆ– 𝑆) ∈ (π‘β€˜π‘₯)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3429  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4603   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5682  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ↑m cmap 8845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8847
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator