Theorem clsneifv4 44100

Description: Value of the closure (interior) function in terms of the neighborhoods (convergents) function. (Contributed by RP, 27-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
clsnei.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
clsnei.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
clsnei.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
clsneifv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
clsneifv4	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑁‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑥   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝,𝑥   𝐷,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐷,𝑛,𝑜,𝑝   𝑖,𝐹,𝑗,𝑘,𝑙   𝑛,𝐹,𝑜,𝑝   𝑖,𝐾,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑥   𝑛,𝐾,𝑜,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙   𝑛,𝑁,𝑜,𝑝   𝑆,𝑚,𝑥   𝑆,𝑜   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑘,𝑛,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem clsneifv4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfin5 3922	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐾‘𝑆)) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ∈ (𝐾‘𝑆)}
2		clsnei.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
3		clsnei.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
4		clsnei.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
5		clsnei.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
6		clsnei.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
7		clsnei.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	clsneikex 44095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
9		elmapi 8822	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐾:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
11		clsneifv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
12	10, 11	ffvelcdmd 7057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)
13	12	elpwid 4572	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑆) ⊆ 𝐵)
14		sseqin2 4186	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝑆) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ (𝐾‘𝑆)) = (𝐾‘𝑆))
15	13, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (𝐾‘𝑆)) = (𝐾‘𝑆))
16	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐾𝐻𝑁)
17		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
19	2, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18	clsneiel1 44097	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑆) ↔ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑁‘𝑥)))
20	19	rabbidva 3412	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑥 ∈ (𝐾‘𝑆)} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑁‘𝑥)})
21	1, 15, 20	3eqtr3a 2788	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑁‘𝑥)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389   ↑_m cmap 8799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8801

This theorem is referenced by: (None)