Theorem cnrmnrm 21385

Description: A completely normal space is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnrmnrm	⊢ (𝐽 ∈ CNrm → 𝐽 ∈ Nrm)

Proof of Theorem cnrmnrm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2770	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	restid 16301	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ CNrm → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) = 𝐽)
3		uniexg 7101	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ CNrm → ∪ 𝐽 ∈ V)
4		cnrmi 21384	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ CNrm ∧ ∪ 𝐽 ∈ V) → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Nrm)
5	3, 4	mpdan 659	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ CNrm → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Nrm)
6	2, 5	eqeltrrd 2850	1 ⊢ (𝐽 ∈ CNrm → 𝐽 ∈ Nrm)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349  ∪ cuni 4572  (class class class)co 6792   ↾_t crest 16288  Nrmcnrm 21334  CNrmccnrm 21335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-rest 16290  df-cnrm 21342

This theorem is referenced by: (None)