MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restcnrm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem restcnrm 23086
Description: A subspace of a completely normal space is completely normal. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restcnrm ((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ CNrm)
Proof of Theorem restcnrm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . 3 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
21restin 22890 . 2 ((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = (𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)))
3 simpll 763 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ CNrm)
4 elpwi 4608 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽))
54adantl 480 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†’ π‘₯ βŠ† (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽))
6 inex1g 5318 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ V)
76ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ V)
8 restabs 22889 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ CNrm ∧ π‘₯ βŠ† (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽) ∧ (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†Ύt π‘₯) = (𝐽 β†Ύt π‘₯))
93, 5, 7, 8syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†Ύt π‘₯) = (𝐽 β†Ύt π‘₯))
10 cnrmi 23084 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ CNrm ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Nrm)
1110adantlr 711 . . . . 5 (((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘₯) ∈ Nrm)
129, 11eqeltrd 2831 . . . 4 (((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†Ύt π‘₯) ∈ Nrm)
1312ralrimiva 3144 . . 3 ((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)((𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†Ύt π‘₯) ∈ Nrm)
14 cnrmtop 23061 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ CNrm β†’ 𝐽 ∈ Top)
1514adantr 479 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐽 ∈ Top)
16 toptopon2 22640 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
1715, 16sylib 217 . . . . 5 ((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
18 inss2 4228 . . . . 5 (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽
19 resttopon 22885 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)))
2017, 18, 19sylancl 584 . . . 4 ((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)))
21 iscnrm2 23062 . . . 4 ((𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ CNrm ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)((𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†Ύt π‘₯) ∈ Nrm))
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ CNrm ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)((𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) β†Ύt π‘₯) ∈ Nrm))
2313, 22mpbird 256 . 2 ((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽)) ∈ CNrm)
242, 23eqeltrd 2831 1 ((𝐽 ∈ CNrm ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ CNrm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  Nrmcnrm 23034  CNrmccnrm 23035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cnrm 23042
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator