Theorem restid 17633

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restid	⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		uniexg 7781	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
3	1, 2	eqeltrid 2868	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
4	1	eqimss2i 3974	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋
5		sspwuni 5063	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	mpbir 234	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋
7		restid2 17630	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)
8	3, 6, 7	sylancl 598	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  (class class class)co 7443   ↾_t crest 17620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-rest 17622

This theorem is used by:  toponrestid  23269  restin  23514  cnrmnrm  23709  cmpkgen  23900  xkopt  24004  xkoinjcn  24036  ussid  24609  tuslem  24615  cnperf  25170  retopconn  25179  abscncfALT  25275  cnmpopc  25279  recnperf  26255  lhop1lem  26363  cxpcn3  27106  retopsconn  36181  ivthALT  37301  binomcxplemdvbinom  45529  binomcxplemnotnn0  45532  fsumcncf  47093  ioccncflimc  47100  cncfuni  47101  icocncflimc  47104  cncfiooicclem1  47108  itgsubsticclem  47190  dirkercncflem2  47319  dirkercncflem4  47321  fourierdlem32  47354  fourierdlem33  47355  fourierdlem62  47383  fourierdlem93  47414  fourierdlem101  47422