Theorem restid 17385

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restid	⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		uniexg 7734	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
3	1, 2	eqeltrid 2835	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
4	1	eqimss2i 4044	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋
5		sspwuni 5104	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	mpbir 230	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋
7		restid2 17382	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)
8	3, 6, 7	sylancl 584	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603  ∪ cuni 4909  (class class class)co 7413   ↾_t crest 17372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rest 17374

This theorem is referenced by:  toponrestid  22645  restin  22892  cnrmnrm  23087  cmpkgen  23277  xkopt  23381  xkoinjcn  23413  ussid  23987  tuslem  23993  tuslemOLD  23994  cnperf  24558  retopconn  24567  abscncfALT  24667  cnmpopc  24671  recnperf  25656  lhop1lem  25764  cxpcn3  26490  retopsconn  34536  ivthALT  35525  binomcxplemdvbinom  43416  binomcxplemnotnn0  43419  fsumcncf  44894  ioccncflimc  44901  cncfuni  44902  icocncflimc  44905  cncfiooicclem1  44909  itgsubsticclem  44991  dirkercncflem2  45120  dirkercncflem4  45122  fourierdlem32  45155  fourierdlem33  45156  fourierdlem62  45184  fourierdlem93  45215  fourierdlem101  45223