Theorem restid 17584

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restid	⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		uniexg 7746	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
3	1, 2	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
4	1	eqimss2i 3992	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋
5		sspwuni 5060	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	mpbir 234	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋
7		restid2 17581	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)
8	3, 6, 7	sylancl 598	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rest 17573

This theorem is used by:  toponrestid  23219  restin  23464  cnrmnrm  23659  cmpkgen  23850  xkopt  23954  xkoinjcn  23986  ussid  24559  tuslem  24565  cnperf  25120  retopconn  25129  abscncfALT  25225  cnmpopc  25229  recnperf  26205  lhop1lem  26313  cxpcn3  27058  retopsconn  35983  ivthALT  37093  binomcxplemdvbinom  45296  binomcxplemnotnn0  45299  fsumcncf  46832  ioccncflimc  46839  cncfuni  46840  icocncflimc  46843  cncfiooicclem1  46847  itgsubsticclem  46929  dirkercncflem2  47058  dirkercncflem4  47060  fourierdlem32  47093  fourierdlem33  47094  fourierdlem62  47122  fourierdlem93  47153  fourierdlem101  47161