Theorem restid 17384

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restid	⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		uniexg 7733	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
3	1, 2	eqeltrid 2836	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
4	1	eqimss2i 4043	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋
5		sspwuni 5103	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	mpbir 230	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋
7		restid2 17381	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)
8	3, 6, 7	sylancl 585	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  ∪ cuni 4908  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rest 17373

This theorem is referenced by:  toponrestid  22644  restin  22891  cnrmnrm  23086  cmpkgen  23276  xkopt  23380  xkoinjcn  23412  ussid  23986  tuslem  23992  tuslemOLD  23993  cnperf  24557  retopconn  24566  abscncfALT  24666  cnmpopc  24670  recnperf  25655  lhop1lem  25766  cxpcn3  26493  retopsconn  34539  ivthALT  35524  binomcxplemdvbinom  43415  binomcxplemnotnn0  43418  fsumcncf  44893  ioccncflimc  44900  cncfuni  44901  icocncflimc  44904  cncfiooicclem1  44908  itgsubsticclem  44990  dirkercncflem2  45119  dirkercncflem4  45121  fourierdlem32  45154  fourierdlem33  45155  fourierdlem62  45183  fourierdlem93  45214  fourierdlem101  45222