Theorem restid 17609

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restid	⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		uniexg 7757	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
3	1, 2	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
4	1	eqimss2i 3969	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋
5		sspwuni 5059	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	mpbir 234	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋
7		restid2 17606	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)
8	3, 6, 7	sylancl 598	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17596

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-rest 17598

This theorem is used by:  toponrestid  23244  restin  23489  cnrmnrm  23684  cmpkgen  23875  xkopt  23979  xkoinjcn  24011  ussid  24584  tuslem  24590  cnperf  25145  retopconn  25154  abscncfALT  25250  cnmpopc  25254  recnperf  26230  lhop1lem  26338  cxpcn3  27081  retopsconn  36100  ivthALT  37215  binomcxplemdvbinom  45430  binomcxplemnotnn0  45433  fsumcncf  46981  ioccncflimc  46988  cncfuni  46989  icocncflimc  46992  cncfiooicclem1  46996  itgsubsticclem  47078  dirkercncflem2  47207  dirkercncflem4  47209  fourierdlem32  47242  fourierdlem33  47243  fourierdlem62  47271  fourierdlem93  47302  fourierdlem101  47310