Theorem cntzcmnf 19444

Description: Discharge the centralizer assumption in a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmnf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmnf.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzcmnf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cntzcmnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmnf	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))

Proof of Theorem cntzcmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmnf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6606	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3		cntzcmnf.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cntzcmnf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		cntzcmnf.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6	4, 5	cntzcmn 19439	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘ran 𝐹) = 𝐵)
7	3, 2, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘ran 𝐹) = 𝐵)
8	2, 7	sseqtrrd 3967	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  ran crn 5591  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  Basecbs 16910  Cntzccntz 18919  CMndccmn 19384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-cntz 18921  df-cmn 19386

This theorem is referenced by:  gsumres  19512  gsumcl2  19513  gsumf1o  19515  gsumsubmcl  19518  gsumsplit  19527  gsummhm  19537  gsumfsum  20663  wilthlem3  26217