Theorem cntzcmnf 19757

Description: Discharge the centralizer assumption in a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmnf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmnf.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzcmnf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cntzcmnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmnf	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))

Proof of Theorem cntzcmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmnf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6659	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3		cntzcmnf.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cntzcmnf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		cntzcmnf.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6	4, 5	cntzcmn 19752	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘ran 𝐹) = 𝐵)
7	3, 2, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘ran 𝐹) = 𝐵)
8	2, 7	sseqtrrd 3967	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ran crn 5615  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  Cntzccntz 19227  CMndccmn 19692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-cntz 19229  df-cmn 19694

This theorem is referenced by:  gsumres  19825  gsumcl2  19826  gsumf1o  19828  gsumsubmcl  19831  gsumsplit  19840  gsummhm  19850  gsumfsum  21371  wilthlem3  27007