Theorem cntzcmnf 19824

Description: Discharge the centralizer assumption in a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmnf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmnf.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzcmnf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cntzcmnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmnf	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))

Proof of Theorem cntzcmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmnf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6713	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3		cntzcmnf.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cntzcmnf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		cntzcmnf.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6	4, 5	cntzcmn 19819	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘ran 𝐹) = 𝐵)
7	3, 2, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘ran 𝐹) = 𝐵)
8	2, 7	sseqtrrd 3996	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  ran crn 5655  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  Basecbs 17226  Cntzccntz 19296  CMndccmn 19759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-cntz 19298  df-cmn 19761

This theorem is referenced by:  gsumres  19892  gsumcl2  19893  gsumf1o  19895  gsumsubmcl  19898  gsumsplit  19907  gsummhm  19917  gsumfsum  21400  wilthlem3  27030