Theorem cntzcmnf 19978

Description: Discharge the centralizer assumption in a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmnf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmnf.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzcmnf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cntzcmnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmnf	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))

Proof of Theorem cntzcmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmnf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6715	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3		cntzcmnf.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cntzcmnf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		cntzcmnf.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6	4, 5	cntzcmn 19973	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘ran 𝐹) = 𝐵)
7	3, 2, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘ran 𝐹) = 𝐵)
8	2, 7	sseqtrrd 3971	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ran crn 5660  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  Cntzccntz 19448  CMndccmn 19913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-cntz 19450  df-cmn 19915

This theorem is used by:  gsumres  20046  gsumcl2  20047  gsumf1o  20049  gsumsubmcl  20052  gsumsplit  20061  gsummhm  20071  gsumfsum  21653  wilthlem3  27314