Theorem cntzcmnf 19812

Description: Discharge the centralizer assumption in a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzcmnf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmnf.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzcmnf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
cntzcmnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cntzcmnf	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))

Proof of Theorem cntzcmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzcmnf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6731	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3		cntzcmnf.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cntzcmnf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		cntzcmnf.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6	4, 5	cntzcmn 19807	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘ran 𝐹) = 𝐵)
7	3, 2, 6	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘ran 𝐹) = 𝐵)
8	2, 7	sseqtrrd 4018	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  ran crn 5679  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  Cntzccntz 19278  CMndccmn 19747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-cntz 19280  df-cmn 19749

This theorem is referenced by:  gsumres  19880  gsumcl2  19881  gsumf1o  19883  gsumsubmcl  19886  gsumsplit  19895  gsummhm  19905  gsumfsum  21384  wilthlem3  27047