Theorem gsumsubmcl 19852

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsubmcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsubmcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumsubmcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumsubmcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubmcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumsubmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsubmcl.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
3		gsumsubmcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cmnmnd 19730	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumsubmcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		gsumsubmcl.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
8		gsumsubmcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
9		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	submss 18738	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12	8, 11	fssd 6680	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐺))
13	9, 2, 3, 12	cntzcmnf 19778	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
14		gsumsubmcl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
15	1, 2, 5, 6, 7, 8, 13, 14	gsumzsubmcl 19851	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   finSupp cfsupp 9268  Basecbs 17140  0_gc0g 17363   Σ_g cgsu 17364  Mndcmnd 18663  SubMndcsubmnd 18711  Cntzccntz 19248  CMndccmn 19713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-cntz 19250  df-cmn 19715

This theorem is referenced by:  gsumsubgcl  19853  mplbas2  22001  tdeglem1  26023  tdeglem4  26025  plypf1  26177  jensen  26959  amgmlem  26960  amgm  26961  wilthlem2  27039  wilthlem3  27040  lgseisenlem3  27348  elrspunidl  33511  fldextrspunlsplem  33832  amgmwlem  50114