Theorem gsumsubmcl 19435

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsubmcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsubmcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumsubmcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumsubmcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubmcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumsubmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsubmcl.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
3		gsumsubmcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cmnmnd 19317	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumsubmcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		gsumsubmcl.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
8		gsumsubmcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
9		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	submss 18363	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12	8, 11	fssd 6602	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐺))
13	9, 2, 3, 12	cntzcmnf 19361	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
14		gsumsubmcl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
15	1, 2, 5, 6, 7, 8, 13, 14	gsumzsubmcl 19434	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   finSupp cfsupp 9058  Basecbs 16840  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300  SubMndcsubmnd 18344  Cntzccntz 18836  CMndccmn 19301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-cntz 18838  df-cmn 19303

This theorem is referenced by:  gsumsubgcl  19436  mplbas2  21153  tdeglem1  25125  tdeglem1OLD  25126  tdeglem4  25129  tdeglem4OLD  25130  plypf1  25278  jensen  26043  amgmlem  26044  amgm  26045  wilthlem2  26123  wilthlem3  26124  lgseisenlem3  26430  elrspunidl  31508  amgmwlem  46392