Theorem gsumsubmcl 19839

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsubmcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsubmcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumsubmcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumsubmcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubmcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumsubmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsubmcl.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2		eqid 2726	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
3		gsumsubmcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cmnmnd 19717	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumsubmcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		gsumsubmcl.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
8		gsumsubmcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
9		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	submss 18734	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12	8, 11	fssd 6729	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐺))
13	9, 2, 3, 12	cntzcmnf 19765	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
14		gsumsubmcl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
15	1, 2, 5, 6, 7, 8, 13, 14	gsumzsubmcl 19838	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  0_gc0g 17394   Σ_g cgsu 17395  Mndcmnd 18667  SubMndcsubmnd 18712  Cntzccntz 19231  CMndccmn 19700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-cntz 19233  df-cmn 19702

This theorem is referenced by:  gsumsubgcl  19840  mplbas2  21939  tdeglem1  25946  tdeglem1OLD  25947  tdeglem4  25950  tdeglem4OLD  25951  plypf1  26101  jensen  26876  amgmlem  26877  amgm  26878  wilthlem2  26956  wilthlem3  26957  lgseisenlem3  27265  elrspunidl  33052  amgmwlem  48120