MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsplit 19160
Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit.z 0 = (0g𝐺)
gsumsplit.p + = (+g𝐺)
gsumsplit.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsplit.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumsplit.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
gsumsplit.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
gsumsplit (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹𝐷))))

Proof of Theorem gsumsplit
StepHypRef Expression
1 gsumsplit.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumsplit.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumsplit.p . 2 + = (+g𝐺)
4 eqid 2738 . 2 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 gsumsplit.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 19033 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumsplit.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumsplit.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
101, 4, 5, 9cntzcmnf 19077 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
11 gsumsplit.w . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
12 gsumsplit.i . 2 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
13 gsumsplit.u . 2 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13gsumzsplit 19159 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  cun 3839  cin 3840  c0 4209   class class class wbr 5027  cres 5521  wf 6329  cfv 6333  (class class class)co 7164   finSupp cfsupp 8899  Basecbs 16579  +gcplusg 16661  0gc0g 16809   Σg cgsu 16810  Mndcmnd 18020  Cntzccntz 18556  CMndccmn 19017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-hash 13776  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-cntz 18558  df-cmn 19019
This theorem is referenced by:  gsumsplit2  19161  gsummptfidmsplitres  19163  gsum2dlem2  19203  islindf4  20647  tmdgsum  22839  xrge0gsumle  23578  amgm  25720  wilthlem2  25798  gsumesum  31589  gsumsplit2f  44892
  Copyright terms: Public domain W3C validator