Theorem gsumsplit 19897

Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumsplit.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsumsplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐷))))

Proof of Theorem gsumsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2728	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5		gsumsplit.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19766	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsumsplit.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumsplit.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
10	1, 4, 5, 9	cntzcmnf 19814	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
11		gsumsplit.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
12		gsumsplit.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
13		gsumsplit.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	gsumzsplit 19896	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3947   ∩ cin 3948  ∅c0 4326   class class class wbr 5152   ↾ cres 5684  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   finSupp cfsupp 9395  Basecbs 17189  +_gcplusg 17242  0_gc0g 17430   Σ_g cgsu 17431  Mndcmnd 18703  Cntzccntz 19280  CMndccmn 19749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-cntz 19282  df-cmn 19751

This theorem is referenced by:  gsumsplit2  19898  gsummptfidmsplitres  19900  gsum2dlem2  19940  islindf4  21786  tmdgsum  24027  xrge0gsumle  24777  amgm  26951  wilthlem2  27029  rprmdvdsprod  33281  gsumesum  33719  selvvvval  41867  evlselv  41869  gsumsplit2f  47338