MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsplit 19712
Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsplit.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumsplit.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumsplit.p + = (+gβ€˜πΊ)
gsumsplit.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsplit.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumsplit.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
gsumsplit.i (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ…)
gsumsplit.u (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐢 βˆͺ 𝐷))
Assertion
Ref Expression
gsumsplit (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) + (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐷))))

Proof of Theorem gsumsplit
StepHypRef Expression
1 gsumsplit.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumsplit.z . 2 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 gsumsplit.p . 2 + = (+gβ€˜πΊ)
4 eqid 2737 . 2 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
5 gsumsplit.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 19586 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumsplit.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
9 gsumsplit.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
101, 4, 5, 9cntzcmnf 19630 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐹))
11 gsumsplit.w . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
12 gsumsplit.i . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∩ 𝐷) = βˆ…)
13 gsumsplit.u . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐢 βˆͺ 𝐷))
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13gsumzsplit 19711 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐢)) + (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328   Ξ£g cgsu 17329  Mndcmnd 18563  Cntzccntz 19102  CMndccmn 19569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-cntz 19104  df-cmn 19571
This theorem is referenced by:  gsumsplit2  19713  gsummptfidmsplitres  19715  gsum2dlem2  19755  islindf4  21260  tmdgsum  23462  xrge0gsumle  24212  amgm  26356  wilthlem2  26434  gsumesum  32698  gsumsplit2f  46188
  Copyright terms: Public domain W3C validator