Theorem gsumsplit 20055

Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumsplit.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsumsplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐷))))

Proof of Theorem gsumsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5		gsumsplit.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19924	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsumsplit.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumsplit.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
10	1, 4, 5, 9	cntzcmnf 19972	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
11		gsumsplit.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
12		gsumsplit.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
13		gsumsplit.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	gsumzsplit 20054	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐷))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   finSupp cfsupp 9331  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  0_gc0g 17524   Σ_g cgsu 17525  Mndcmnd 18836  Cntzccntz 19442  CMndccmn 19907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-cntz 19444  df-cmn 19909

This theorem is used by:  gsumsplit2  20056  gsummptfidmsplitres  20058  gsum2dlem2  20098  islindf4  22051  selvvvval  22358  tmdgsum  24321  xrge0gsumle  25060  amgm  27227  wilthlem2  27305  rprmdvdsprod  33944  gsumesum  34569  evlselv  43435  gsumsplit2f  49095