MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsplit 19895
Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit.z 0 = (0g𝐺)
gsumsplit.p + = (+g𝐺)
gsumsplit.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsplit.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumsplit.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
gsumsplit.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
gsumsplit (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹𝐷))))

Proof of Theorem gsumsplit
StepHypRef Expression
1 gsumsplit.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumsplit.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumsplit.p . 2 + = (+g𝐺)
4 eqid 2725 . 2 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 gsumsplit.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 19764 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumsplit.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumsplit.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
101, 4, 5, 9cntzcmnf 19812 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
11 gsumsplit.w . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
12 gsumsplit.i . 2 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
13 gsumsplit.u . 2 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13gsumzsplit 19894 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3942  cin 3943  c0 4322   class class class wbr 5149  cres 5680  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419   finSupp cfsupp 9387  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  0gc0g 17424   Σg cgsu 17425  Mndcmnd 18697  Cntzccntz 19278  CMndccmn 19747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-cntz 19280  df-cmn 19749
This theorem is referenced by:  gsumsplit2  19896  gsummptfidmsplitres  19898  gsum2dlem2  19938  islindf4  21789  tmdgsum  24043  xrge0gsumle  24793  amgm  26968  wilthlem2  27046  rprmdvdsprod  33346  gsumesum  33809  selvvvval  41953  evlselv  41955  gsumsplit2f  47428
  Copyright terms: Public domain W3C validator