Theorem gsumsplit 19844

Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsplit.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumsplit.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsumsplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐷))))

Proof of Theorem gsumsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2733	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5		gsumsplit.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19713	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsumsplit.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumsplit.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
10	1, 4, 5, 9	cntzcmnf 19761	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
11		gsumsplit.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
12		gsumsplit.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
13		gsumsplit.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	gsumzsplit 19843	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897  ∅c0 4282   class class class wbr 5095   ↾ cres 5623  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   finSupp cfsupp 9254  Basecbs 17124  +_gcplusg 17165  0_gc0g 17347   Σ_g cgsu 17348  Mndcmnd 18646  Cntzccntz 19231  CMndccmn 19696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-hash 14242  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-cntz 19233  df-cmn 19698

This theorem is referenced by:  gsumsplit2  19845  gsummptfidmsplitres  19847  gsum2dlem2  19887  islindf4  21779  tmdgsum  24013  xrge0gsumle  24752  amgm  26931  wilthlem2  27009  rprmdvdsprod  33508  gsumesum  34095  selvvvval  42706  evlselv  42708  gsumsplit2f  48307