Theorem gsumfsum 21359

Description: Relate a group sum on ℂ_fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumfsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
gsumfsum	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfsum

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
2		mpt0 6628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅)
4	3	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
5		cnfld0 21317	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	5	gsum0 18576	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = 0
7		sum0 15646	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
8	6, 7	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
9	4, 8	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
10		sumeq1 15614	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
11	9, 10	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
13		cnfldbas 21283	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		cnfldadd 21285	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Cntz‘ℂfld) = (Cntz‘ℂfld)
16		cnring 21315	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringmnd 20146	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ℂfld ∈ Mnd)
19		gsumfsum.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
21		gsumfsum.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 7053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
24		ringcmn 20185	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
25	16, 24	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ℂfld ∈ CMnd)
26	13, 15, 25, 23	cntzcmnf 19742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ((Cntz‘ℂfld)‘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
27		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
28		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
29		f1of1 6767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1→𝐴)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1→𝐴)
31		suppssdm 8117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 0) ⊆ dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
32	31, 23	fssdm 6675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 0) ⊆ 𝐴)
33		f1ofo 6775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto→𝐴)
34		forn 6743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto→𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
35	28, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ran 𝑓 = 𝐴)
36	32, 35	sseqtrrd 3975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 0) ⊆ ran 𝑓)
37		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓) supp 0) = (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓) supp 0)
38	13, 5, 14, 15, 18, 20, 23, 26, 27, 30, 36, 37	gsumval3 19804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
39		sumfc 15634	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
40		fveq2 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
41	23	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ∈ ℂ)
42		f1of 6768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
43	28, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
44		fvco3 6926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
45	43, 44	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
46	40, 27, 28, 41, 45	fsum 15645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
47	39, 46	eqtr3id 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
48	38, 47	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
49	48	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
50	49	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
51	50	expimpd 453	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
52		fz1f1o 15635	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
53	19, 52	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
54	12, 51, 53	mpjaod 860	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286   ↦ cmpt 5176  ran crn 5624   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483  –onto→wfo 6484  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   supp csupp 8100  Fincfn 8879  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  ℕcn 12146  ...cfz 13428  seqcseq 13926  ♯chash 14255  Σcsu 15611   Σ_g cgsu 17362  Mndcmnd 18626  Cntzccntz 19212  CMndccmn 19677  Ringcrg 20136  ℂ_fldccnfld 21279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-cnfld 21280

This theorem is referenced by:  regsumfsum  21360  regsumsupp  21547  plypf1  26133  taylpfval  26288  jensen  26915  amgmlem  26916  lgseisenlem4  27305  gsumzrsum  33025  esumpfinval  34044  esumpfinvalf  34045  esumpcvgval  34047  esumcvg  34055  sge0tsms  46365  aacllem  49790  amgmwlem  49791  amgmlemALT  49792