Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumfsum 20588
 Description: Relate a group sum on ℂfld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumfsum.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumfsum.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
gsumfsum (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfsum
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 5127 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
2 mpt0 6463 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
31, 2syl6eq 2872 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑘𝐴𝐵) = ∅)
43oveq2d 7146 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
5 cnfld0 20545 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
65gsum0 17873 . . . . . 6 (ℂfld Σg ∅) = 0
7 sum0 15057 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
86, 7eqtr4i 2847 . . . . 5 (ℂfld Σg ∅) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
94, 8syl6eq 2872 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
10 sumeq1 15024 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
119, 10eqtr4d 2859 . . 3 (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
13 cnfldbas 20525 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
14 cnfldadd 20526 . . . . . . 7 + = (+g‘ℂfld)
15 eqid 2821 . . . . . . 7 (Cntz‘ℂfld) = (Cntz‘ℂfld)
16 cnring 20543 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
17 ringmnd 19285 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ℂfld ∈ Mnd)
19 gsumfsum.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2019adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
21 gsumfsum.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221fmpttd 6852 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
2322adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
24 ringcmn 19310 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
2516, 24mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ℂfld ∈ CMnd)
2613, 15, 25, 23cntzcmnf 18944 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ran (𝑘𝐴𝐵) ⊆ ((Cntz‘ℂfld)‘ran (𝑘𝐴𝐵)))
27 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
28 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
29 f1of1 6587 . . . . . . . 8 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1𝐴)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1𝐴)
31 suppssdm 7818 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝐴𝐵) supp 0) ⊆ dom (𝑘𝐴𝐵)
3231, 23fssdm 6503 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 0) ⊆ 𝐴)
33 f1ofo 6595 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto𝐴)
34 forn 6566 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
3528, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ran 𝑓 = 𝐴)
3632, 35sseqtrrd 3984 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 0) ⊆ ran 𝑓)
37 eqid 2821 . . . . . . 7 (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓) supp 0) = (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓) supp 0)
3813, 5, 14, 15, 18, 20, 23, 26, 27, 30, 36, 37gsumval3 19006 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
39 sumfc 15045 . . . . . . 7 Σ𝑥𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵
40 fveq2 6643 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
4123ffvelrnda 6824 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ ℂ)
42 f1of 6588 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
4328, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
44 fvco3 6733 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
4543, 44sylan 583 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
4640, 27, 28, 41, 45fsum 15056 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑥𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
4739, 46syl5eqr 2870 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
4838, 47eqtr4d 2859 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
4948expr 460 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
5049exlimdv 1935 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
5150expimpd 457 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
52 fz1f1o 15046 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
5319, 52syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
5412, 51, 53mpjaod 857 1 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115  ∅c0 4266   ↦ cmpt 5119  ran crn 5529   ∘ ccom 5532  ⟶wf 6324  –1-1→wf1 6325  –onto→wfo 6326  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   supp csupp 7805  Fincfn 8484  ℂcc 10512  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517  ℕcn 11615  ...cfz 12875  seqcseq 13352  ♯chash 13674  Σcsu 15021   Σg cgsu 16693  Mndcmnd 17890  Cntzccntz 18424  CMndccmn 18885  Ringcrg 19276  ℂfldccnfld 20521 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-cnfld 20522 This theorem is referenced by:  regsumfsum  20589  regsumsupp  20742  plypf1  24788  taylpfval  24939  jensen  25553  amgmlem  25554  lgseisenlem4  25941  esumpfinval  31342  esumpfinvalf  31343  esumpcvgval  31345  esumcvg  31353  sge0tsms  42842  aacllem  45140  amgmwlem  45141  amgmlemALT  45142
 Copyright terms: Public domain W3C validator