MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumfsum 20089
Description: Relate a group sum on fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumfsum.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumfsum.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
gsumfsum (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfsum
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 4898 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
2 mpt0 6201 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
31, 2syl6eq 2815 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑘𝐴𝐵) = ∅)
43oveq2d 6860 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
5 cnfld0 20046 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
65gsum0 17547 . . . . . 6 (ℂfld Σg ∅) = 0
7 sum0 14740 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
86, 7eqtr4i 2790 . . . . 5 (ℂfld Σg ∅) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
94, 8syl6eq 2815 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
10 sumeq1 14707 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
119, 10eqtr4d 2802 . . 3 (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
13 cnfldbas 20026 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
14 cnfldadd 20027 . . . . . . 7 + = (+g‘ℂfld)
15 eqid 2765 . . . . . . 7 (Cntz‘ℂfld) = (Cntz‘ℂfld)
16 cnring 20044 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
17 ringmnd 18826 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ℂfld ∈ Mnd)
19 gsumfsum.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2019adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
21 gsumfsum.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221fmpttd 6577 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
2322adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
24 ringcmn 18851 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
2516, 24mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ℂfld ∈ CMnd)
2613, 15, 25, 23cntzcmnf 18517 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ran (𝑘𝐴𝐵) ⊆ ((Cntz‘ℂfld)‘ran (𝑘𝐴𝐵)))
27 simprl 787 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
28 simprr 789 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
29 f1of1 6321 . . . . . . . 8 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1𝐴)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1𝐴)
31 suppssdm 7512 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝐴𝐵) supp 0) ⊆ dom (𝑘𝐴𝐵)
3231, 23fssdm 6241 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 0) ⊆ 𝐴)
33 f1ofo 6329 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto𝐴)
34 forn 6303 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
3528, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ran 𝑓 = 𝐴)
3632, 35sseqtr4d 3804 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 0) ⊆ ran 𝑓)
37 eqid 2765 . . . . . . 7 (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓) supp 0) = (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓) supp 0)
3813, 5, 14, 15, 18, 20, 23, 26, 27, 30, 36, 37gsumval3 18577 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
39 sumfc 14728 . . . . . . 7 Σ𝑥𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵
40 fveq2 6377 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
4123ffvelrnda 6551 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ ℂ)
42 f1of 6322 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
4328, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
44 fvco3 6466 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
4543, 44sylan 575 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
4640, 27, 28, 41, 45fsum 14739 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑥𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
4739, 46syl5eqr 2813 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
4838, 47eqtr4d 2802 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
4948expr 448 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
5049exlimdv 2028 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
5150expimpd 445 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
52 fz1f1o 14729 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
5319, 52syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
5412, 51, 53mpjaod 886 1 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  c0 4081  cmpt 4890  ran crn 5280  ccom 5283  wf 6066  1-1wf1 6067  ontowfo 6068  1-1-ontowf1o 6069  cfv 6070  (class class class)co 6844   supp csupp 7499  Fincfn 8162  cc 10189  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194  cn 11276  ...cfz 12536  seqcseq 13011  chash 13324  Σcsu 14704   Σg cgsu 16370  Mndcmnd 17563  Cntzccntz 18014  CMndccmn 18462  Ringcrg 18817  fldccnfld 20022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-addf 10270  ax-mulf 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-sup 8557  df-oi 8624  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-seq 13012  df-exp 13071  df-hash 13325  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-clim 14507  df-sum 14705  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-grp 17695  df-minusg 17696  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-abl 18465  df-mgp 18760  df-ur 18772  df-ring 18819  df-cring 18820  df-cnfld 20023
This theorem is referenced by:  regsumfsum  20090  regsumsupp  20245  plypf1  24262  taylpfval  24413  jensen  25009  amgmlem  25010  lgseisenlem4  25397  esumpfinval  30587  esumpfinvalf  30588  esumpcvgval  30590  esumcvg  30598  sge0tsms  41237  aacllem  43222  amgmwlem  43223  amgmlemALT  43224
  Copyright terms: Public domain W3C validator