MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumfsum 21452
Description: Relate a group sum on fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumfsum.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumfsum.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
gsumfsum (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfsum
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 5235 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
2 mpt0 6710 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
31, 2eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑘𝐴𝐵) = ∅)
43oveq2d 7447 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
5 cnfld0 21405 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
65gsum0 18697 . . . . . 6 (ℂfld Σg ∅) = 0
7 sum0 15757 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
86, 7eqtr4i 2768 . . . . 5 (ℂfld Σg ∅) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
94, 8eqtrdi 2793 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
10 sumeq1 15725 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
119, 10eqtr4d 2780 . . 3 (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
13 cnfldbas 21368 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
14 cnfldadd 21370 . . . . . . 7 + = (+g‘ℂfld)
15 eqid 2737 . . . . . . 7 (Cntz‘ℂfld) = (Cntz‘ℂfld)
16 cnring 21403 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
17 ringmnd 20240 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ℂfld ∈ Mnd)
19 gsumfsum.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
21 gsumfsum.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221fmpttd 7135 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
24 ringcmn 20279 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
2516, 24mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ℂfld ∈ CMnd)
2613, 15, 25, 23cntzcmnf 19863 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ran (𝑘𝐴𝐵) ⊆ ((Cntz‘ℂfld)‘ran (𝑘𝐴𝐵)))
27 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
28 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
29 f1of1 6847 . . . . . . . 8 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1𝐴)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1𝐴)
31 suppssdm 8202 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝐴𝐵) supp 0) ⊆ dom (𝑘𝐴𝐵)
3231, 23fssdm 6755 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 0) ⊆ 𝐴)
33 f1ofo 6855 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto𝐴)
34 forn 6823 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
3528, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ran 𝑓 = 𝐴)
3632, 35sseqtrrd 4021 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 0) ⊆ ran 𝑓)
37 eqid 2737 . . . . . . 7 (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓) supp 0) = (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓) supp 0)
3813, 5, 14, 15, 18, 20, 23, 26, 27, 30, 36, 37gsumval3 19925 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
39 sumfc 15745 . . . . . . 7 Σ𝑥𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵
40 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
4123ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ ℂ)
42 f1of 6848 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
4328, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
44 fvco3 7008 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
4543, 44sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
4640, 27, 28, 41, 45fsum 15756 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑥𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
4739, 46eqtr3id 2791 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
4838, 47eqtr4d 2780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
4948expr 456 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
5049exlimdv 1933 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
5150expimpd 453 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
52 fz1f1o 15746 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
5319, 52syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
5412, 51, 53mpjaod 861 1 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  c0 4333  cmpt 5225  ran crn 5686  ccom 5689  wf 6557  1-1wf1 6558  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cn 12266  ...cfz 13547  seqcseq 14042  chash 14369  Σcsu 15722   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  Cntzccntz 19333  CMndccmn 19798  Ringcrg 20230  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by:  regsumfsum  21453  regsumsupp  21640  plypf1  26251  taylpfval  26406  jensen  27032  amgmlem  27033  lgseisenlem4  27422  gsumzrsum  33062  esumpfinval  34076  esumpfinvalf  34077  esumpcvgval  34079  esumcvg  34087  sge0tsms  46395  aacllem  49320  amgmwlem  49321  amgmlemALT  49322
  Copyright terms: Public domain W3C validator