MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumfsum 21469
Description: Relate a group sum on fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumfsum.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumfsum.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
gsumfsum (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfsum
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 5240 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
2 mpt0 6710 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
31, 2eqtrdi 2790 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑘𝐴𝐵) = ∅)
43oveq2d 7446 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
5 cnfld0 21422 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
65gsum0 18709 . . . . . 6 (ℂfld Σg ∅) = 0
7 sum0 15753 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
86, 7eqtr4i 2765 . . . . 5 (ℂfld Σg ∅) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
94, 8eqtrdi 2790 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
10 sumeq1 15721 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
119, 10eqtr4d 2777 . . 3 (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
13 cnfldbas 21385 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
14 cnfldadd 21387 . . . . . . 7 + = (+g‘ℂfld)
15 eqid 2734 . . . . . . 7 (Cntz‘ℂfld) = (Cntz‘ℂfld)
16 cnring 21420 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
17 ringmnd 20260 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ℂfld ∈ Mnd)
19 gsumfsum.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
21 gsumfsum.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221fmpttd 7134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
24 ringcmn 20295 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
2516, 24mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ℂfld ∈ CMnd)
2613, 15, 25, 23cntzcmnf 19877 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ran (𝑘𝐴𝐵) ⊆ ((Cntz‘ℂfld)‘ran (𝑘𝐴𝐵)))
27 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
28 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
29 f1of1 6847 . . . . . . . 8 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1𝐴)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1𝐴)
31 suppssdm 8200 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝐴𝐵) supp 0) ⊆ dom (𝑘𝐴𝐵)
3231, 23fssdm 6755 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 0) ⊆ 𝐴)
33 f1ofo 6855 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto𝐴)
34 forn 6823 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
3528, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ran 𝑓 = 𝐴)
3632, 35sseqtrrd 4036 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 0) ⊆ ran 𝑓)
37 eqid 2734 . . . . . . 7 (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓) supp 0) = (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓) supp 0)
3813, 5, 14, 15, 18, 20, 23, 26, 27, 30, 36, 37gsumval3 19939 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
39 sumfc 15741 . . . . . . 7 Σ𝑥𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵
40 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
4123ffvelcdmda 7103 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ ℂ)
42 f1of 6848 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
4328, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
44 fvco3 7007 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
4543, 44sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
4640, 27, 28, 41, 45fsum 15752 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑥𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑥) = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
4739, 46eqtr3id 2788 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
4838, 47eqtr4d 2777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
4948expr 456 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
5049exlimdv 1930 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
5150expimpd 453 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵))
52 fz1f1o 15742 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
5319, 52syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
5412, 51, 53mpjaod 860 1 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  c0 4338  cmpt 5230  ran crn 5689  ccom 5692  wf 6558  1-1wf1 6559  ontowfo 6560  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183  Fincfn 8983  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  cn 12263  ...cfz 13543  seqcseq 14038  chash 14365  Σcsu 15718   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18759  Cntzccntz 19345  CMndccmn 19812  Ringcrg 20250  fldccnfld 21381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-cnfld 21382
This theorem is referenced by:  regsumfsum  21470  regsumsupp  21657  plypf1  26265  taylpfval  26420  jensen  27046  amgmlem  27047  lgseisenlem4  27436  gsumzrsum  33044  esumpfinval  34055  esumpfinvalf  34056  esumpcvgval  34058  esumcvg  34066  sge0tsms  46335  aacllem  49031  amgmwlem  49032  amgmlemALT  49033
  Copyright terms: Public domain W3C validator