Theorem gsumfsum 20612

Description: Relate a group sum on ℂ_fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumfsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
gsumfsum	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfsum

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5154	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
2		mpt0 6490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
3	1, 2	syl6eq 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅)
4	3	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
5		cnfld0 20569	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	5	gsum0 17894	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = 0
7		sum0 15078	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
8	6, 7	eqtr4i 2847	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
9	4, 8	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
10		sumeq1 15045	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
11	9, 10	eqtr4d 2859	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
13		cnfldbas 20549	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		cnfldadd 20550	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
15		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Cntz‘ℂfld) = (Cntz‘ℂfld)
16		cnring 20567	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringmnd 19306	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ℂfld ∈ Mnd)
19		gsumfsum.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
20	19	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
21		gsumfsum.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
23	22	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
24		ringcmn 19331	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
25	16, 24	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ℂfld ∈ CMnd)
26	13, 15, 25, 23	cntzcmnf 18965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ((Cntz‘ℂfld)‘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
27		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
28		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
29		f1of1 6614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1→𝐴)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1→𝐴)
31		suppssdm 7843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 0) ⊆ dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
32	31, 23	fssdm 6530	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 0) ⊆ 𝐴)
33		f1ofo 6622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto→𝐴)
34		forn 6593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto→𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
35	28, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ran 𝑓 = 𝐴)
36	32, 35	sseqtrrd 4008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 0) ⊆ ran 𝑓)
37		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓) supp 0) = (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓) supp 0)
38	13, 5, 14, 15, 18, 20, 23, 26, 27, 30, 36, 37	gsumval3 19027	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
39		sumfc 15066	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
40		fveq2 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
41	23	ffvelrnda 6851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ∈ ℂ)
42		f1of 6615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
43	28, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
44		fvco3 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
45	43, 44	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
46	40, 27, 28, 41, 45	fsum 15077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
47	39, 46	syl5eqr 2870	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
48	38, 47	eqtr4d 2859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
49	48	expr 459	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
50	49	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
51	50	expimpd 456	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
52		fz1f1o 15067	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
53	19, 52	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
54	12, 51, 53	mpjaod 856	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  ∅c0 4291   ↦ cmpt 5146  ran crn 5556   ∘ ccom 5559  ⟶wf 6351  –1-1→wf1 6352  –onto→wfo 6353  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   supp csupp 7830  Fincfn 8509  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540  ℕcn 11638  ...cfz 12893  seqcseq 13370  ♯chash 13691  Σcsu 15042   Σ_g cgsu 16714  Mndcmnd 17911  Cntzccntz 18445  CMndccmn 18906  Ringcrg 19297  ℂ_fldccnfld 20545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-cnfld 20546

This theorem is referenced by:  regsumfsum  20613  regsumsupp  20766  plypf1  24802  taylpfval  24953  jensen  25566  amgmlem  25567  lgseisenlem4  25954  esumpfinval  31334  esumpfinvalf  31335  esumpcvgval  31337  esumcvg  31345  sge0tsms  42682  aacllem  44922  amgmwlem  44923  amgmlemALT  44924