MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumfsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsumfsum 21004
Description: Relate a group sum on β„‚fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumfsum.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
gsumfsum.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
gsumfsum (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem gsumfsum
Dummy variables 𝑓 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 5240 . . . . . . 7 (𝐴 = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝐡))
2 mpt0 6689 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝐡) = βˆ…
31, 2eqtrdi 2788 . . . . . 6 (𝐴 = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = βˆ…)
43oveq2d 7421 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (β„‚fld Ξ£g βˆ…))
5 cnfld0 20961 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
65gsum0 18599 . . . . . 6 (β„‚fld Ξ£g βˆ…) = 0
7 sum0 15663 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
86, 7eqtr4i 2763 . . . . 5 (β„‚fld Ξ£g βˆ…) = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡
94, 8eqtrdi 2788 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
10 sumeq1 15631 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
119, 10eqtr4d 2775 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
13 cnfldbas 20940 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
14 cnfldadd 20941 . . . . . . 7 + = (+gβ€˜β„‚fld)
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (Cntzβ€˜β„‚fld) = (Cntzβ€˜β„‚fld)
16 cnring 20959 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ Ring
17 ringmnd 20059 . . . . . . . 8 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
19 gsumfsum.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2019adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
21 gsumfsum.2 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2221fmpttd 7111 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
2322adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
24 ringcmn 20092 . . . . . . . . 9 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
2516, 24mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
2613, 15, 25, 23cntzcmnf 19707 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ((Cntzβ€˜β„‚fld)β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
27 simprl 769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
28 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
29 f1of1 6829 . . . . . . . 8 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1→𝐴)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1→𝐴)
31 suppssdm 8158 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) supp 0) βŠ† dom (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
3231, 23fssdm 6734 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) supp 0) βŠ† 𝐴)
33 f1ofo 6837 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–onto→𝐴)
34 forn 6805 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–onto→𝐴 β†’ ran 𝑓 = 𝐴)
3528, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ran 𝑓 = 𝐴)
3632, 35sseqtrrd 4022 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) supp 0) βŠ† ran 𝑓)
37 eqid 2732 . . . . . . 7 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓) supp 0) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓) supp 0)
3813, 5, 14, 15, 18, 20, 23, 26, 27, 30, 36, 37gsumval3 19769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
39 sumfc 15651 . . . . . . 7 Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
40 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
4123ffvelcdmda 7083 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
42 f1of 6830 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
4328, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
44 fvco3 6987 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
4543, 44sylan 580 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
4640, 27, 28, 41, 45fsum 15662 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
4739, 46eqtr3id 2786 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
4838, 47eqtr4d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
4948expr 457 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
5049exlimdv 1936 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
5150expimpd 454 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
52 fz1f1o 15652 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
5319, 52syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
5412, 51, 53mpjaod 858 1 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ…c0 4321   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€“ontoβ†’wfo 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   supp csupp 8142  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„•cn 12208  ...cfz 13480  seqcseq 13962  β™―chash 14286  Ξ£csu 15628   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  Cntzccntz 19173  CMndccmn 19642  Ringcrg 20049  β„‚fldccnfld 20936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-cnfld 20937
This theorem is referenced by:  regsumfsum  21005  regsumsupp  21166  plypf1  25717  taylpfval  25868  jensen  26482  amgmlem  26483  lgseisenlem4  26870  esumpfinval  33061  esumpfinvalf  33062  esumpcvgval  33064  esumcvg  33072  sge0tsms  45082  aacllem  47801  amgmwlem  47802  amgmlemALT  47803
  Copyright terms: Public domain W3C validator