Theorem gsumfsum 21328

Description: Relate a group sum on ℂ_fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumfsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
gsumfsum	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfsum

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
2		mpt0 6686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅)
4	3	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
5		cnfld0 21281	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	5	gsum0 18617	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = 0
7		sum0 15673	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
8	6, 7	eqtr4i 2757	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
9	4, 8	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
10		sumeq1 15641	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
11	9, 10	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
13		cnfldbas 21244	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		cnfldadd 21246	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
15		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Cntz‘ℂfld) = (Cntz‘ℂfld)
16		cnring 21279	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringmnd 20148	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ℂfld ∈ Mnd)
19		gsumfsum.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
21		gsumfsum.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 7110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
24		ringcmn 20181	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
25	16, 24	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ℂfld ∈ CMnd)
26	13, 15, 25, 23	cntzcmnf 19765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ((Cntz‘ℂfld)‘ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
27		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
28		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
29		f1of1 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1→𝐴)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1→𝐴)
31		suppssdm 8162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 0) ⊆ dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
32	31, 23	fssdm 6731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 0) ⊆ 𝐴)
33		f1ofo 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto→𝐴)
34		forn 6802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–onto→𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
35	28, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ran 𝑓 = 𝐴)
36	32, 35	sseqtrrd 4018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 0) ⊆ ran 𝑓)
37		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓) supp 0) = (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓) supp 0)
38	13, 5, 14, 15, 18, 20, 23, 26, 27, 30, 36, 37	gsumval3 19827	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
39		sumfc 15661	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
40		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
41	23	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ∈ ℂ)
42		f1of 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
43	28, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
44		fvco3 6984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
45	43, 44	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
46	40, 27, 28, 41, 45	fsum 15672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
47	39, 46	eqtr3id 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
48	38, 47	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
49	48	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
50	49	exlimdv 1928	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
51	50	expimpd 453	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
52		fz1f1o 15662	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
53	19, 52	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
54	12, 51, 53	mpjaod 857	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∅c0 4317   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   ∘ ccom 5673  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   supp csupp 8146  Fincfn 8941  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  ℕcn 12216  ...cfz 13490  seqcseq 13972  ♯chash 14295  Σcsu 15638   Σ_g cgsu 17395  Mndcmnd 18667  Cntzccntz 19231  CMndccmn 19700  Ringcrg 20138  ℂ_fldccnfld 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-cnfld 21241

This theorem is referenced by:  regsumfsum  21329  regsumsupp  21515  plypf1  26101  taylpfval  26254  jensen  26876  amgmlem  26877  lgseisenlem4  27266  esumpfinval  33603  esumpfinvalf  33604  esumpcvgval  33606  esumcvg  33614  sge0tsms  45668  aacllem  48122  amgmwlem  48123  amgmlemALT  48124