Theorem gsummhm 19904

Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsummhm.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummhm	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsummhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
3		gsummhm.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cmnmnd 19763	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsummhm.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
7		gsummhm.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsummhm.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
9		gsummhm.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
10	1, 2, 3, 9	cntzcmnf 19811	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
11		gsummhm.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12		gsummhm.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
13	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	gsumzmhm 19903	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   finSupp cfsupp 9267  Basecbs 17170  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693   MndHom cmhm 18740  Cntzccntz 19281  CMndccmn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-cntz 19283  df-cmn 19748

This theorem is referenced by:  gsummhm2  19905  gsummptmhm  19906  gsuminv  19912  evlslem2  22067  tsmsmhm  24121  plypf1  26187  amgmlem  26967  selvvvval  43032  evlselv  43034  amgmwlem  50289  amgmlemALT  50290