MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummhm 19855
Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsummhm.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsummhm.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummhm.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsummhm.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsummhm (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))

Proof of Theorem gsummhm
StepHypRef Expression
1 gsummhm.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2726 . 2 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
3 gsummhm.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4 cmnmnd 19714 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 gsummhm.h . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
7 gsummhm.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
8 gsummhm.k . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
9 gsummhm.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
101, 2, 3, 9cntzcmnf 19762 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐹))
11 gsummhm.z . 2 0 = (0gβ€˜πΊ)
12 gsummhm.w . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
131, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12gsumzmhm 19854 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17150  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Mndcmnd 18664   MndHom cmhm 18708  Cntzccntz 19228  CMndccmn 19697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-cntz 19230  df-cmn 19699
This theorem is referenced by:  gsummhm2  19856  gsummptmhm  19857  gsuminv  19863  evlslem2  21979  tsmsmhm  24000  plypf1  26096  amgmlem  26872  selvvvval  41696  evlselv  41698  amgmwlem  48105  amgmlemALT  48106
  Copyright terms: Public domain W3C validator