Theorem gsummhm 18545

Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsummhm.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummhm	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsummhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2771	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
3		gsummhm.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cmnmnd 18415	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsummhm.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
7		gsummhm.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsummhm.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
9		gsummhm.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
10	1, 2, 3, 9	cntzcmnf 18455	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
11		gsummhm.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12		gsummhm.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
13	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	gsumzmhm 18544	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4787   ∘ ccom 5254  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   finSupp cfsupp 8435  Basecbs 16064  0_gc0g 16308   Σ_g cgsu 16309  Mndcmnd 17502   MndHom cmhm 17541  Cntzccntz 17955  CMndccmn 18400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-cntz 17957  df-cmn 18402

This theorem is referenced by:  gsummhm2  18546  gsummptmhm  18547  gsuminv  18553  evlslem2  19727  tsmsmhm  22169  plypf1  24188  amgmlem  24937  amgmwlem  43074  amgmlemALT  43075