MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummhm 19900
Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsummhm.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsummhm.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummhm.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsummhm.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsummhm (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))

Proof of Theorem gsummhm
StepHypRef Expression
1 gsummhm.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2728 . 2 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
3 gsummhm.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4 cmnmnd 19759 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 gsummhm.h . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
7 gsummhm.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
8 gsummhm.k . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
9 gsummhm.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
101, 2, 3, 9cntzcmnf 19807 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐹))
11 gsummhm.z . 2 0 = (0gβ€˜πΊ)
12 gsummhm.w . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
131, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12gsumzmhm 19899 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (𝐾 ∘ 𝐹)) = (πΎβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   finSupp cfsupp 9393  Basecbs 17187  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  Mndcmnd 18701   MndHom cmhm 18745  Cntzccntz 19273  CMndccmn 19742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-cntz 19275  df-cmn 19744
This theorem is referenced by:  gsummhm2  19901  gsummptmhm  19902  gsuminv  19908  evlslem2  22032  tsmsmhm  24070  plypf1  26166  amgmlem  26942  selvvvval  41849  evlselv  41851  amgmwlem  48313  amgmlemALT  48314
  Copyright terms: Public domain W3C validator