Theorem gsummhm 19851

Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsummhm.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummhm	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsummhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
3		gsummhm.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		cmnmnd 19710	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsummhm.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
7		gsummhm.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsummhm.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
9		gsummhm.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
10	1, 2, 3, 9	cntzcmnf 19758	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
11		gsummhm.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12		gsummhm.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
13	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	gsumzmhm 19850	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091   ∘ ccom 5620  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   finSupp cfsupp 9245  Basecbs 17120  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18642   MndHom cmhm 18689  Cntzccntz 19228  CMndccmn 19693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-cntz 19230  df-cmn 19695

This theorem is referenced by:  gsummhm2  19852  gsummptmhm  19853  gsuminv  19859  evlslem2  22015  tsmsmhm  24062  plypf1  26145  amgmlem  26928  selvvvval  42624  evlselv  42626  amgmwlem  49840  amgmlemALT  49841