MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumcl2 19699
Description: Closure of a finite group sum. This theorem has a weaker hypothesis than gsumcl 19700, because it is not required that 𝐹 is a function (actually, the hypothesis always holds for any proper class 𝐹). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumcl.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
gsumcl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumcl2.w (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
gsumcl2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem gsumcl2
StepHypRef Expression
1 gsumcl.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumcl.z . 2 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 eqid 2733 . 2 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
4 gsumcl.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
5 cmnmnd 19587 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
64, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
7 gsumcl.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
8 gsumcl.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
91, 3, 4, 8cntzcmnf 19631 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐹))
10 gsumcl2.w . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
111, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10gsumzcl2 19695 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096  Fincfn 8889  Basecbs 17091  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Mndcmnd 18564  Cntzccntz 19103  CMndccmn 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-cntz 19105  df-cmn 19572
This theorem is referenced by:  gsumcl  19700  gsum2dlem1  19755  sitgclg  33006  mhphf  40818
  Copyright terms: Public domain W3C validator