MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzfval 19107
Description: First level substitution for a centralizer. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzfval.p + = (+gโ€˜๐‘€)
cntzfval.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzfval (๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ ,๐‘ฆ, +   ๐ต,๐‘ ,๐‘ฅ   ๐‘€,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ )   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ )

Proof of Theorem cntzfval
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzfval.z . 2 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
2 elex 3466 . . 3 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘€ โˆˆ V)
3 fveq2 6847 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (Baseโ€˜๐‘š) = (Baseโ€˜๐‘€))
4 cntzfval.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
53, 4eqtr4di 2795 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (Baseโ€˜๐‘š) = ๐ต)
65pweqd 4582 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ๐’ซ (Baseโ€˜๐‘š) = ๐’ซ ๐ต)
7 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (+gโ€˜๐‘š) = (+gโ€˜๐‘€))
8 cntzfval.p . . . . . . . . . 10 + = (+gโ€˜๐‘€)
97, 8eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (+gโ€˜๐‘š) = + )
109oveqd 7379 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))
119oveqd 7379 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฅ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))
1210, 11eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
1312ralbidv 3175 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
145, 13rabeqbidv 3427 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘š) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฅ)} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)})
156, 14mpteq12dv 5201 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘  โˆˆ ๐’ซ (Baseโ€˜๐‘š) โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘š) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฅ)}) = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
16 df-cntz 19104 . . . 4 Cntz = (๐‘š โˆˆ V โ†ฆ (๐‘  โˆˆ ๐’ซ (Baseโ€˜๐‘š) โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘š) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฅ)}))
174fvexi 6861 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ V
1817pwex 5340 . . . . 5 ๐’ซ ๐ต โˆˆ V
1918mptex 7178 . . . 4 (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}) โˆˆ V
2015, 16, 19fvmpt 6953 . . 3 (๐‘€ โˆˆ V โ†’ (Cntzโ€˜๐‘€) = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
212, 20syl 17 . 2 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (Cntzโ€˜๐‘€) = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
221, 21eqtrid 2789 1 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448  ๐’ซ cpw 4565   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Cntzccntz 19102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-cntz 19104
This theorem is referenced by:  cntzval  19108  cntzrcl  19114
  Copyright terms: Public domain W3C validator