MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzfval 19278
Description: First level substitution for a centralizer. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzfval.p + = (+gโ€˜๐‘€)
cntzfval.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzfval (๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ ,๐‘ฆ, +   ๐ต,๐‘ ,๐‘ฅ   ๐‘€,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ )   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ )

Proof of Theorem cntzfval
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzfval.z . 2 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
2 elex 3492 . . 3 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘€ โˆˆ V)
3 fveq2 6902 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (Baseโ€˜๐‘š) = (Baseโ€˜๐‘€))
4 cntzfval.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
53, 4eqtr4di 2786 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (Baseโ€˜๐‘š) = ๐ต)
65pweqd 4623 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ๐’ซ (Baseโ€˜๐‘š) = ๐’ซ ๐ต)
7 fveq2 6902 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (+gโ€˜๐‘š) = (+gโ€˜๐‘€))
8 cntzfval.p . . . . . . . . . 10 + = (+gโ€˜๐‘€)
97, 8eqtr4di 2786 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (+gโ€˜๐‘š) = + )
109oveqd 7443 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))
119oveqd 7443 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฅ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))
1210, 11eqeq12d 2744 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
1312ralbidv 3175 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)))
145, 13rabeqbidv 3448 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘š) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฅ)} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)})
156, 14mpteq12dv 5243 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘  โˆˆ ๐’ซ (Baseโ€˜๐‘š) โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘š) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฅ)}) = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
16 df-cntz 19275 . . . 4 Cntz = (๐‘š โˆˆ V โ†ฆ (๐‘  โˆˆ ๐’ซ (Baseโ€˜๐‘š) โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘š) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘š)๐‘ฅ)}))
174fvexi 6916 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ V
1817pwex 5384 . . . . 5 ๐’ซ ๐ต โˆˆ V
1918mptex 7241 . . . 4 (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}) โˆˆ V
2015, 16, 19fvmpt 7010 . . 3 (๐‘€ โˆˆ V โ†’ (Cntzโ€˜๐‘€) = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
212, 20syl 17 . 2 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (Cntzโ€˜๐‘€) = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
221, 21eqtrid 2780 1 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ = (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘  (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473  ๐’ซ cpw 4606   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Cntzccntz 19273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-cntz 19275
This theorem is referenced by:  cntzval  19279  cntzrcl  19285
  Copyright terms: Public domain W3C validator