MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzrcl 19285
Description: Reverse closure for elements of the centralizer. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzrcl.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzrcl (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘€ โˆˆ V โˆง ๐‘† โІ ๐ต))

Proof of Theorem cntzrcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 4334 . . . 4 ยฌ ๐‘‹ โˆˆ โˆ…
2 cntzrcl.z . . . . . . . 8 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
3 fvprc 6894 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘€ โˆˆ V โ†’ (Cntzโ€˜๐‘€) = โˆ…)
42, 3eqtrid 2780 . . . . . . 7 (ยฌ ๐‘€ โˆˆ V โ†’ ๐‘ = โˆ…)
54fveq1d 6904 . . . . . 6 (ยฌ ๐‘€ โˆˆ V โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) = (โˆ…โ€˜๐‘†))
6 0fv 6946 . . . . . 6 (โˆ…โ€˜๐‘†) = โˆ…
75, 6eqtrdi 2784 . . . . 5 (ยฌ ๐‘€ โˆˆ V โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) = โˆ…)
87eleq2d 2815 . . . 4 (ยฌ ๐‘€ โˆˆ V โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” ๐‘‹ โˆˆ โˆ…))
91, 8mtbiri 326 . . 3 (ยฌ ๐‘€ โˆˆ V โ†’ ยฌ ๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
109con4i 114 . 2 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘€ โˆˆ V)
11 cntzrcl.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
12 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐‘€) = (+gโ€˜๐‘€)
1311, 12, 2cntzfval 19278 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ V โ†’ ๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) = (๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)}))
1410, 13syl 17 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) = (๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)}))
1514dmeqd 5912 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ dom ๐‘ = dom (๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) = (๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)}))
16 eqid 2728 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) = (๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) = (๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)})
1716dmmptss 6250 . . . . 5 dom (๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐ต โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) = (๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)}) โІ ๐’ซ ๐ต
1815, 17eqsstrdi 4036 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ dom ๐‘ โІ ๐’ซ ๐ต)
19 elfvdm 6939 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โˆˆ dom ๐‘)
2018, 19sseldd 3983 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐’ซ ๐ต)
2120elpwid 4615 . 2 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โІ ๐ต)
2210, 21jca 510 1 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘€ โˆˆ V โˆง ๐‘† โІ ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473   โІ wss 3949  โˆ…c0 4326  ๐’ซ cpw 4606   โ†ฆ cmpt 5235  dom cdm 5682  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Cntzccntz 19273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-cntz 19275
This theorem is referenced by:  cntzssv  19286  cntzi  19287  resscntz  19291  cntzmhm  19299  oppgcntz  19325
  Copyright terms: Public domain W3C validator