MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofunex2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofunex2g 7410
Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cofunex2g ((𝐴𝑉 ∧ Fun 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem cofunex2g
StepHypRef Expression
1 cnvexg 7391 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 cofunexg 7409 . . . 4 ((Fun 𝐵𝐴 ∈ V) → (𝐵𝐴) ∈ V)
31, 2sylan2 586 . . 3 ((Fun 𝐵𝐴𝑉) → (𝐵𝐴) ∈ V)
4 cnvco 5553 . . . . 5 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
5 cocnvcnv2 5901 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
6 cocnvcnv1 5900 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
74, 5, 63eqtrri 2806 . . . 4 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
8 cnvexg 7391 . . . 4 ((𝐵𝐴) ∈ V → (𝐵𝐴) ∈ V)
97, 8syl5eqel 2862 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ V → (𝐴𝐵) ∈ V)
103, 9syl 17 . 2 ((Fun 𝐵𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) ∈ V)
1110ancoms 452 1 ((𝐴𝑉 ∧ Fun 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2106  Vcvv 3397  ccnv 5354  ccom 5359  Fun wfun 6129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143
This theorem is referenced by:  fsuppco  8595
  Copyright terms: Public domain W3C validator