Theorem cofunex2g 7792

Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cofunex2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Fun ◡𝐵) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem cofunex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 7771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)
2		cofunexg 7791	. . . 4 ⊢ ((Fun ◡𝐵 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → (◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
3	1, 2	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
4		cnvco 5794	. . . . 5 ⊢ ◡(◡𝐵 ∘ ◡𝐴) = (◡◡𝐴 ∘ ◡◡𝐵)
5		cocnvcnv2 6162	. . . . 5 ⊢ (◡◡𝐴 ∘ ◡◡𝐵) = (◡◡𝐴 ∘ 𝐵)
6		cocnvcnv1 6161	. . . . 5 ⊢ (◡◡𝐴 ∘ 𝐵) = (𝐴 ∘ 𝐵)
7	4, 5, 6	3eqtrri 2771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) = ◡(◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
8		cnvexg 7771	. . . 4 ⊢ ((◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V → ◡(◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
9	7, 8	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ ((◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
10	3, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((Fun ◡𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
11	10	ancoms 459	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Fun ◡𝐵) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ^◡ccnv 5588   ∘ ccom 5593  Fun wfun 6427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441

This theorem is referenced by:  fsuppco  9161