MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofunex2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofunex2g 7935
Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cofunex2g ((𝐴𝑉 ∧ Fun 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem cofunex2g
StepHypRef Expression
1 cnvexg 7914 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 cofunexg 7934 . . . 4 ((Fun 𝐵𝐴 ∈ V) → (𝐵𝐴) ∈ V)
31, 2sylan2 592 . . 3 ((Fun 𝐵𝐴𝑉) → (𝐵𝐴) ∈ V)
4 cnvco 5879 . . . . 5 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
5 cocnvcnv2 6251 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
6 cocnvcnv1 6250 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
74, 5, 63eqtrri 2759 . . . 4 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
8 cnvexg 7914 . . . 4 ((𝐵𝐴) ∈ V → (𝐵𝐴) ∈ V)
97, 8eqeltrid 2831 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ V → (𝐴𝐵) ∈ V)
103, 9syl 17 . 2 ((Fun 𝐵𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) ∈ V)
1110ancoms 458 1 ((𝐴𝑉 ∧ Fun 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  Vcvv 3468  ccnv 5668  ccom 5673  Fun wfun 6531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545
This theorem is referenced by:  fsuppco  9399
  Copyright terms: Public domain W3C validator