MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofunex2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofunex2g 7883
Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cofunex2g ((𝐴𝑉 ∧ Fun 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem cofunex2g
StepHypRef Expression
1 cnvexg 7862 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 cofunexg 7882 . . . 4 ((Fun 𝐵𝐴 ∈ V) → (𝐵𝐴) ∈ V)
31, 2sylan2 594 . . 3 ((Fun 𝐵𝐴𝑉) → (𝐵𝐴) ∈ V)
4 cnvco 5842 . . . . 5 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
5 cocnvcnv2 6211 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
6 cocnvcnv1 6210 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
74, 5, 63eqtrri 2766 . . . 4 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
8 cnvexg 7862 . . . 4 ((𝐵𝐴) ∈ V → (𝐵𝐴) ∈ V)
97, 8eqeltrid 2838 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ V → (𝐴𝐵) ∈ V)
103, 9syl 17 . 2 ((Fun 𝐵𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) ∈ V)
1110ancoms 460 1 ((𝐴𝑉 ∧ Fun 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  Vcvv 3444  ccnv 5633  ccom 5638  Fun wfun 6491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505
This theorem is referenced by:  fsuppco  9343
  Copyright terms: Public domain W3C validator