Theorem cofunex2g 7661

Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cofunex2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Fun ◡𝐵) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem cofunex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 7640	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)
2		cofunexg 7660	. . . 4 ⊢ ((Fun ◡𝐵 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → (◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
3	1, 2	sylan2 595	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
4		cnvco 5731	. . . . 5 ⊢ ◡(◡𝐵 ∘ ◡𝐴) = (◡◡𝐴 ∘ ◡◡𝐵)
5		cocnvcnv2 6093	. . . . 5 ⊢ (◡◡𝐴 ∘ ◡◡𝐵) = (◡◡𝐴 ∘ 𝐵)
6		cocnvcnv1 6092	. . . . 5 ⊢ (◡◡𝐴 ∘ 𝐵) = (𝐴 ∘ 𝐵)
7	4, 5, 6	3eqtrri 2786	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) = ◡(◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
8		cnvexg 7640	. . . 4 ⊢ ((◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V → ◡(◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
9	7, 8	eqeltrid 2856	. . 3 ⊢ ((◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
10	3, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((Fun ◡𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
11	10	ancoms 462	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Fun ◡𝐵) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ^◡ccnv 5527   ∘ ccom 5532  Fun wfun 6334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348

This theorem is referenced by:  fsuppco  8912