Theorem dfac8c 10017

Description: If the union of a set is well-orderable, then the set has a choice function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfac8c	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑟,𝑧,𝐴   𝐵,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧,𝑓)

Proof of Theorem dfac8c

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 ¬ 𝑤𝑟𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 ¬ 𝑤𝑟𝑦))
2	1	dfac8clem 10016	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085   ∖ cdif 3910  ∅c0 4294  {csn 4594  ∪ cuni 4876   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   We wwe 5614  ‘cfv 6537  ℩crio 7367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-riota 7368

This theorem is referenced by:  ween  10019  ac5num  10020  dfac8  10119  vitali  25741