Theorem dfac8c 10102

Description: If the union of a set is well-orderable, then the set has a choice function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfac8c	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑟,𝑧,𝐴   𝐵,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧,𝑓)

Proof of Theorem dfac8c

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 ¬ 𝑤𝑟𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 ¬ 𝑤𝑟𝑦))
2	1	dfac8clem 10101	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ∖ cdif 3973  ∅c0 4352  {csn 4648  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   We wwe 5651  ‘cfv 6573  ℩crio 7403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-riota 7404

This theorem is referenced by:  ween  10104  ac5num  10105  dfac8  10205  vitali  25667