Theorem dfac8c 10074

Description: If the union of a set is well-orderable, then the set has a choice function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfac8c	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑟,𝑧,𝐴   𝐵,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧,𝑓)

Proof of Theorem dfac8c

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 ¬ 𝑤𝑟𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 ¬ 𝑤𝑟𝑦))
2	1	dfac8clem 10073	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060   ∖ cdif 3947  ∅c0 4332  {csn 4625  ∪ cuni 4906   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224   We wwe 5635  ‘cfv 6560  ℩crio 7388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-riota 7389

This theorem is referenced by:  ween  10076  ac5num  10077  dfac8  10177  vitali  25649