MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac5num Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac5num 10077
Description: A version of ac5b 10519 with the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ac5num (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac5num
Dummy variables 𝑔 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexr 7784 . . . 4 ( 𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ V)
2 dfac8b 10072 . . . 4 ( 𝐴 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
3 dfac8c 10074 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)))
41, 2, 3sylc 65 . . 3 ( 𝐴 ∈ dom card → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
54adantr 480 . 2 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
61ad2antrr 726 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
76mptexd 7245 . . 3 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) ∈ V)
8 nelne2 3039 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
98ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((¬ ∅ ∈ 𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
109adantll 714 . . . . . . . . . 10 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
11 pm2.27 42 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ ∅ → ((𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥) → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥) → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
1312ralimdva 3166 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
1413imp 406 . . . . . . 7 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)
15 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑦))
16 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
1715, 16eleq12d 2834 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑔𝑥) ∈ 𝑥 ↔ (𝑔𝑦) ∈ 𝑦))
1817rspccva 3620 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦)
1914, 18sylan 580 . . . . . 6 (((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦)
20 elunii 4911 . . . . . 6 (((𝑔𝑦) ∈ 𝑦𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝐴)
2119, 20sylancom 588 . . . . 5 (((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝐴)
2221fmpttd 7134 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴)
23 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑔𝑦) = (𝑔𝑥))
24 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))
25 fvex 6918 . . . . . . . 8 (𝑔𝑥) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 7015 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) = (𝑔𝑥))
2726eleq1d 2825 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
2827ralbiia 3090 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)
2914, 28sylibr 234 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥)
3022, 29jca 511 . . 3 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥))
31 feq1 6715 . . . 4 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → (𝑓:𝐴 𝐴 ↔ (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴))
32 fveq1 6904 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → (𝑓𝑥) = ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥))
3332eleq1d 2825 . . . . 5 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥))
3433ralbidv 3177 . . . 4 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥))
3531, 34anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → ((𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥)))
367, 30, 35spcedv 3597 . 2 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
375, 36exlimddv 1934 1 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  Vcvv 3479  c0 4332   cuni 4906  cmpt 5224   We wwe 5635  dom cdm 5684  wf 6556  cfv 6560  cardccrd 9976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-en 8987  df-card 9980
This theorem is referenced by:  numacn  10090  ac5b  10519  ac6num  10520
  Copyright terms: Public domain W3C validator