MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac5num Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac5num 10031
Description: A version of ac5b 10473 with the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ac5num (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac5num
Dummy variables 𝑔 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexr 7750 . . . 4 ( 𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ V)
2 dfac8b 10026 . . . 4 ( 𝐴 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
3 dfac8c 10028 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)))
41, 2, 3sylc 65 . . 3 ( 𝐴 ∈ dom card → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
54adantr 482 . 2 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
61ad2antrr 725 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
76mptexd 7226 . . 3 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) ∈ V)
8 nelne2 3041 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
98ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((¬ ∅ ∈ 𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
109adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
11 pm2.27 42 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ ∅ → ((𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥) → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥) → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
1312ralimdva 3168 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
1413imp 408 . . . . . . 7 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)
15 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑦))
16 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
1715, 16eleq12d 2828 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑔𝑥) ∈ 𝑥 ↔ (𝑔𝑦) ∈ 𝑦))
1817rspccva 3612 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦)
1914, 18sylan 581 . . . . . 6 (((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦)
20 elunii 4914 . . . . . 6 (((𝑔𝑦) ∈ 𝑦𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝐴)
2119, 20sylancom 589 . . . . 5 (((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝐴)
2221fmpttd 7115 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴)
23 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑔𝑦) = (𝑔𝑥))
24 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))
25 fvex 6905 . . . . . . . 8 (𝑔𝑥) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 6999 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) = (𝑔𝑥))
2726eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
2827ralbiia 3092 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)
2914, 28sylibr 233 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥)
3022, 29jca 513 . . 3 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥))
31 feq1 6699 . . . 4 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → (𝑓:𝐴 𝐴 ↔ (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴))
32 fveq1 6891 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → (𝑓𝑥) = ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥))
3332eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥))
3433ralbidv 3178 . . . 4 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥))
3531, 34anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → ((𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥)))
367, 30, 35spcedv 3589 . 2 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
375, 36exlimddv 1939 1 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3475  c0 4323   cuni 4909  cmpt 5232   We wwe 5631  dom cdm 5677  wf 6540  cfv 6544  cardccrd 9930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-en 8940  df-card 9934
This theorem is referenced by:  numacn  10044  ac5b  10473  ac6num  10474
  Copyright terms: Public domain W3C validator