Theorem dfac8 10141

Description: A proof of the equivalency of the well-ordering theorem weth 10500 and the axiom of choice ac7 10478. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfac8	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑟

Proof of Theorem dfac8

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 10127	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
2		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vpwex 5342	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
4		raleq 3316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5	4	exbidv 1954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
6	3, 5	spcv 3559	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
7		dfac8a 10036	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card))
8	2, 6, 7	mpsyl 69	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card)
9		dfac8b 10037	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
11	10	alrimiv 1960	. . 3 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
12		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
13		vuniex 7742	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ V
14		weeq2 5643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑟 We 𝑥 ↔ 𝑟 We ∪ 𝑦))
15	14	exbidv 1954	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (∃𝑟 𝑟 We 𝑥 ↔ ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦))
16	13, 15	spcv 3559	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦)
17		dfac8c 10039	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
18	12, 16, 17	mpsyl 69	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
19	18	alrimiv 1960	. . 3 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
20	11, 19	impbii 212	. 2 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
21	1, 20	bitri 278	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867   We wwe 5607  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  cardccrd 9943  CHOICEwac 10121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-en 8956  df-card 9947  df-ac 10122

This theorem is used by:  dfac10  10143  weth  10500  dfac11  43906