Theorem dfac8 9714

Description: A proof of the equivalency of the well-ordering theorem weth 10074 and the axiom of choice ac7 10052. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfac8	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑟

Proof of Theorem dfac8

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 9700	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
2		vex 3402	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vpwex 5255	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
4		raleq 3309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5	4	exbidv 1929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
6	3, 5	spcv 3510	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
7		dfac8a 9609	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card))
8	2, 6, 7	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card)
9		dfac8b 9610	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
11	10	alrimiv 1935	. . 3 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
12		vex 3402	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
13		vuniex 7505	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ V
14		weeq2 5525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑟 We 𝑥 ↔ 𝑟 We ∪ 𝑦))
15	14	exbidv 1929	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (∃𝑟 𝑟 We 𝑥 ↔ ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦))
16	13, 15	spcv 3510	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦)
17		dfac8c 9612	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
18	12, 16, 17	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
19	18	alrimiv 1935	. . 3 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
20	11, 19	impbii 212	. 2 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
21	1, 20	bitri 278	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1541   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3398  ∅c0 4223  𝒫 cpw 4499  ∪ cuni 4805   We wwe 5493  dom cdm 5536  ‘cfv 6358  cardccrd 9516  CHOICEwac 9694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-en 8605  df-card 9520  df-ac 9695

This theorem is referenced by:  dfac10  9716  weth  10074  dfac11  40531