MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac8 10174
Description: A proof of the equivalency of the well-ordering theorem weth 10533 and the axiom of choice ac7 10511. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfac8 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑟

Proof of Theorem dfac8
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 10159 . 2 (CHOICE ↔ ∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
2 vex 3482 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
3 vpwex 5383 . . . . . . 7 𝒫 𝑥 ∈ V
4 raleq 3321 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
54exbidv 1919 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∃𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
63, 5spcv 3605 . . . . . 6 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
7 dfac8a 10068 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (∃𝑓𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card))
82, 6, 7mpsyl 68 . . . . 5 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card)
9 dfac8b 10069 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
108, 9syl 17 . . . 4 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
1110alrimiv 1925 . . 3 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
12 vex 3482 . . . . 5 𝑦 ∈ V
13 vuniex 7758 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
14 weeq2 5677 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑟 We 𝑥𝑟 We 𝑦))
1514exbidv 1919 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑟 𝑟 We 𝑥 ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝑦))
1613, 15spcv 3605 . . . . 5 (∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We 𝑦)
17 dfac8c 10071 . . . . 5 (𝑦 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝑦 → ∃𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
1812, 16, 17mpsyl 68 . . . 4 (∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
1918alrimiv 1925 . . 3 (∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
2011, 19impbii 209 . 2 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
211, 20bitri 275 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wal 1535   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   We wwe 5640  dom cdm 5689  cfv 6563  cardccrd 9973  CHOICEwac 10153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-en 8985  df-card 9977  df-ac 10154
This theorem is referenced by:  dfac10  10176  weth  10533  dfac11  43051
  Copyright terms: Public domain W3C validator