MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac8 10176
Description: A proof of the equivalency of the well-ordering theorem weth 10535 and the axiom of choice ac7 10513. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfac8 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑟

Proof of Theorem dfac8
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 10161 . 2 (CHOICE ↔ ∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
2 vex 3484 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
3 vpwex 5377 . . . . . . 7 𝒫 𝑥 ∈ V
4 raleq 3323 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
54exbidv 1921 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∃𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
63, 5spcv 3605 . . . . . 6 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
7 dfac8a 10070 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (∃𝑓𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card))
82, 6, 7mpsyl 68 . . . . 5 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card)
9 dfac8b 10071 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
108, 9syl 17 . . . 4 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
1110alrimiv 1927 . . 3 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
12 vex 3484 . . . . 5 𝑦 ∈ V
13 vuniex 7759 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
14 weeq2 5673 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑟 We 𝑥𝑟 We 𝑦))
1514exbidv 1921 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑟 𝑟 We 𝑥 ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝑦))
1613, 15spcv 3605 . . . . 5 (∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We 𝑦)
17 dfac8c 10073 . . . . 5 (𝑦 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝑦 → ∃𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
1812, 16, 17mpsyl 68 . . . 4 (∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
1918alrimiv 1927 . . 3 (∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
2011, 19impbii 209 . 2 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
211, 20bitri 275 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wal 1538   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   We wwe 5636  dom cdm 5685  cfv 6561  cardccrd 9975  CHOICEwac 10155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-en 8986  df-card 9979  df-ac 10156
This theorem is referenced by:  dfac10  10178  weth  10535  dfac11  43074
  Copyright terms: Public domain W3C validator