Theorem dfac8 10176

Description: A proof of the equivalency of the well-ordering theorem weth 10535 and the axiom of choice ac7 10513. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfac8	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑟

Proof of Theorem dfac8

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 10161	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
2		vex 3484	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vpwex 5377	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
4		raleq 3323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5	4	exbidv 1921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
6	3, 5	spcv 3605	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
7		dfac8a 10070	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card))
8	2, 6, 7	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card)
9		dfac8b 10071	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
11	10	alrimiv 1927	. . 3 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
12		vex 3484	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
13		vuniex 7759	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ V
14		weeq2 5673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑟 We 𝑥 ↔ 𝑟 We ∪ 𝑦))
15	14	exbidv 1921	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (∃𝑟 𝑟 We 𝑥 ↔ ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦))
16	13, 15	spcv 3605	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦)
17		dfac8c 10073	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
18	12, 16, 17	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
19	18	alrimiv 1927	. . 3 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
20	11, 19	impbii 209	. 2 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
21	1, 20	bitri 275	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  Vcvv 3480  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  ∪ cuni 4907   We wwe 5636  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  cardccrd 9975  CHOICEwac 10155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-en 8986  df-card 9979  df-ac 10156

This theorem is referenced by:  dfac10  10178  weth  10535  dfac11  43074