MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8clem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac8clem 9250
Description: Lemma for dfac8c 9251. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfac8clem.1 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
Assertion
Ref Expression
dfac8clem (𝐴𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑟,𝑠,𝑧,𝐴   𝐵,𝑟,𝑠   𝑓,𝐹,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧,𝑓,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem dfac8clem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4589 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅))
2 elssuni 4737 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐴𝑠 𝐴)
32ad2antrl 716 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 𝐴)
4 simplr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 We 𝐴)
5 vex 3411 . . . . . . . . . . 11 𝑟 ∈ V
6 exse2 7435 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ V → 𝑟 Se 𝐴)
75, 6mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 Se 𝐴)
8 simprr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ≠ ∅)
9 wereu2 5400 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 We 𝐴𝑟 Se 𝐴) ∧ (𝑠 𝐴𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
104, 7, 3, 8, 9syl22anc 827 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
11 riotacl 6949 . . . . . . . . 9 (∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎 → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
133, 12sseldd 3852 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝐴)
141, 13sylan2b 585 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝐴)
15 dfac8clem.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
1614, 15fmptd 6699 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶ 𝐴)
17 difexg 5083 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
1817adantr 473 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
19 uniexg 7283 . . . . . 6 (𝐴𝐵 𝐴 ∈ V)
2019adantr 473 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
21 fex2 7451 . . . . 5 ((𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
2216, 18, 20, 21syl3anc 1352 . . . 4 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
23 riotaex 6939 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V
2415fvmpt2 6603 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2523, 24mpan2 679 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
261, 25sylbir 227 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2726adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2827, 12eqeltrd 2859 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)
2928expr 449 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
3029ralrimiva 3125 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∀𝑠𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
31 nfv 1874 . . . . . . 7 𝑠 𝑧 ≠ ∅
32 nfmpt1 5021 . . . . . . . . . 10 𝑠(𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
3315, 32nfcxfr 2923 . . . . . . . . 9 𝑠𝐹
34 nfcv 2925 . . . . . . . . 9 𝑠𝑧
3533, 34nffv 6506 . . . . . . . 8 𝑠(𝐹𝑧)
3635nfel1 2939 . . . . . . 7 𝑠(𝐹𝑧) ∈ 𝑧
3731, 36nfim 1860 . . . . . 6 𝑠(𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)
38 nfv 1874 . . . . . 6 𝑧(𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)
39 neeq1 3022 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
40 fveq2 6496 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑠))
41 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠𝑧 = 𝑠)
4240, 41eleq12d 2853 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
4339, 42imbi12d 337 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑠 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)))
4437, 38, 43cbvral 3372 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
4530, 44sylibr 226 . . . 4 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
46 fveq1 6495 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑧) = (𝐹𝑧))
4746eleq1d 2843 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
4847imbi2d 333 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)))
4948ralbidv 3140 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)))
5022, 45, 49elabd 3576 . . 3 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
5150ex 405 . 2 (𝐴𝐵 → (𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5251exlimdv 1893 1 (𝐴𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wex 1743  wcel 2051  wne 2960  wral 3081  ∃!wreu 3083  Vcvv 3408  cdif 3819  wss 3822  c0 4172  {csn 4435   cuni 4708   class class class wbr 4925  cmpt 5004   Se wse 5360   We wwe 5361  wf 6181  cfv 6185  crio 6934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-fv 6193  df-riota 6935
This theorem is referenced by:  dfac8c  9251
  Copyright terms: Public domain W3C validator