Theorem dfac8clem 9954

Description: Lemma for dfac8c 9955. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfac8clem.1	⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))

Assertion

Ref	Expression
dfac8clem	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑟,𝑠,𝑧,𝐴   𝐵,𝑟,𝑠   𝑓,𝐹,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧,𝑓,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem dfac8clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅))
2		elssuni 4881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 → 𝑠 ⊆ ∪ 𝐴)
3	2	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ⊆ ∪ 𝐴)
4		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 We ∪ 𝐴)
5		vex 3433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑟 ∈ V
6		exse2 7868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ V → 𝑟 Se ∪ 𝐴)
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 Se ∪ 𝐴)
8		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ≠ ∅)
9		wereu2 5628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 We ∪ 𝐴 ∧ 𝑟 Se ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
10	4, 7, 3, 8, 9	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
11		riotacl 7341	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃!𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎 → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
13	3, 12	sseldd 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ ∪ 𝐴)
14	1, 13	sylan2b 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ ∪ 𝐴)
15		dfac8clem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
16	14, 15	fmptd 7066	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → 𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶∪ 𝐴)
17		difexg 5270	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
19		uniexg 7694	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∪ 𝐴 ∈ V)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ V)
21		fex2 7887	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶∪ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V ∧ ∪ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
23		riotaex 7328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V
24	15	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
25	23, 24	mpan2 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
26	1, 25	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
27	26	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
28	27, 12	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠)
29	28	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
30	29	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
31		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑧 ≠ ∅
32		nfmpt1 5184	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
33	15, 32	nfcxfr 2896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
34		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝑧
35	33, 34	nffv 6850	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠(𝐹‘𝑧)
36	35	nfel1 2915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠(𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧
37	31, 36	nfim 1898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧)
38		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠)
39		neeq1 2994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
40		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑠))
41		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → 𝑧 = 𝑠)
42	40, 41	eleq12d 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
43	39, 42	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠)))
44	37, 38, 43	cbvralw 3279	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
45	30, 44	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧))
46		fveq1 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
47	46	eleq1d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧))
48	47	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧)))
49	48	ralbidv 3160	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧)))
50	22, 45, 49	spcedv 3540	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
51	50	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
52	51	exlimdv 1935	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃!wreu 3340  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   Se wse 5582   We wwe 5583  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  ℩crio 7323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-riota 7324

This theorem is referenced by:  dfac8c  9955