MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8clem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac8clem 9443
Description: Lemma for dfac8c 9444. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfac8clem.1 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
Assertion
Ref Expression
dfac8clem (𝐴𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑟,𝑠,𝑧,𝐴   𝐵,𝑟,𝑠   𝑓,𝐹,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧,𝑓,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem dfac8clem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4680 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅))
2 elssuni 4830 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐴𝑠 𝐴)
32ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 𝐴)
4 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 We 𝐴)
5 vex 3444 . . . . . . . . . . 11 𝑟 ∈ V
6 exse2 7604 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ V → 𝑟 Se 𝐴)
75, 6mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 Se 𝐴)
8 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ≠ ∅)
9 wereu2 5516 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 We 𝐴𝑟 Se 𝐴) ∧ (𝑠 𝐴𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
104, 7, 3, 8, 9syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
11 riotacl 7110 . . . . . . . . 9 (∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎 → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
133, 12sseldd 3916 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝐴)
141, 13sylan2b 596 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝐴)
15 dfac8clem.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
1614, 15fmptd 6855 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶ 𝐴)
17 difexg 5195 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
1817adantr 484 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
19 uniexg 7446 . . . . . 6 (𝐴𝐵 𝐴 ∈ V)
2019adantr 484 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
21 fex2 7620 . . . . 5 ((𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
2216, 18, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
23 riotaex 7097 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V
2415fvmpt2 6756 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2523, 24mpan2 690 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
261, 25sylbir 238 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2726adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2827, 12eqeltrd 2890 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)
2928expr 460 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
3029ralrimiva 3149 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∀𝑠𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
31 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑠 𝑧 ≠ ∅
32 nfmpt1 5128 . . . . . . . . . 10 𝑠(𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
3315, 32nfcxfr 2953 . . . . . . . . 9 𝑠𝐹
34 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑠𝑧
3533, 34nffv 6655 . . . . . . . 8 𝑠(𝐹𝑧)
3635nfel1 2971 . . . . . . 7 𝑠(𝐹𝑧) ∈ 𝑧
3731, 36nfim 1897 . . . . . 6 𝑠(𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)
38 nfv 1915 . . . . . 6 𝑧(𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)
39 neeq1 3049 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
40 fveq2 6645 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑠))
41 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠𝑧 = 𝑠)
4240, 41eleq12d 2884 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
4339, 42imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑠 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)))
4437, 38, 43cbvralw 3387 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
4530, 44sylibr 237 . . . 4 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
46 fveq1 6644 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑧) = (𝐹𝑧))
4746eleq1d 2874 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
4847imbi2d 344 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)))
4948ralbidv 3162 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)))
5022, 45, 49spcedv 3547 . . 3 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
5150ex 416 . 2 (𝐴𝐵 → (𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5251exlimdv 1934 1 (𝐴𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2111  wne 2987  wral 3106  ∃!wreu 3108  Vcvv 3441  cdif 3878  wss 3881  c0 4243  {csn 4525   cuni 4800   class class class wbr 5030  cmpt 5110   Se wse 5476   We wwe 5477  wf 6320  cfv 6324  crio 7092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-riota 7093
This theorem is referenced by:  dfac8c  9444
  Copyright terms: Public domain W3C validator