Theorem dfac8clem 9926

Description: Lemma for dfac8c 9927. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfac8clem.1	⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))

Assertion

Ref	Expression
dfac8clem	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑟,𝑠,𝑧,𝐴   𝐵,𝑟,𝑠   𝑓,𝐹,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧,𝑓,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem dfac8clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅))
2		elssuni 4888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 → 𝑠 ⊆ ∪ 𝐴)
3	2	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ⊆ ∪ 𝐴)
4		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 We ∪ 𝐴)
5		vex 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑟 ∈ V
6		exse2 7850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ V → 𝑟 Se ∪ 𝐴)
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 Se ∪ 𝐴)
8		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ≠ ∅)
9		wereu2 5616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 We ∪ 𝐴 ∧ 𝑟 Se ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
10	4, 7, 3, 8, 9	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
11		riotacl 7323	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃!𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎 → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
13	3, 12	sseldd 3936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ ∪ 𝐴)
14	1, 13	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ ∪ 𝐴)
15		dfac8clem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
16	14, 15	fmptd 7048	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → 𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶∪ 𝐴)
17		difexg 5268	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
19		uniexg 7676	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∪ 𝐴 ∈ V)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ V)
21		fex2 7869	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶∪ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V ∧ ∪ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
23		riotaex 7310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V
24	15	fvmpt2 6941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
25	23, 24	mpan2 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
26	1, 25	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
27	26	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
28	27, 12	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠)
29	28	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
30	29	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
31		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑧 ≠ ∅
32		nfmpt1 5191	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
33	15, 32	nfcxfr 2889	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
34		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝑧
35	33, 34	nffv 6832	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠(𝐹‘𝑧)
36	35	nfel1 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠(𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧
37	31, 36	nfim 1896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧)
38		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠)
39		neeq1 2987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
40		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑠))
41		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → 𝑧 = 𝑠)
42	40, 41	eleq12d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
43	39, 42	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠)))
44	37, 38, 43	cbvralw 3271	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
45	30, 44	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧))
46		fveq1 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
47	46	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧))
48	47	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧)))
49	48	ralbidv 3152	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧)))
50	22, 45, 49	spcedv 3553	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
51	50	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
52	51	exlimdv 1933	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃!wreu 3341  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  {csn 4577  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   Se wse 5570   We wwe 5571  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  ℩crio 7305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-riota 7306

This theorem is referenced by:  dfac8c  9927