MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8clem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac8clem 10027
Description: Lemma for dfac8c 10028. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfac8clem.1 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
Assertion
Ref Expression
dfac8clem (𝐴𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑟,𝑠,𝑧,𝐴   𝐵,𝑟,𝑠   𝑓,𝐹,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧,𝑓,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem dfac8clem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4791 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅))
2 elssuni 4942 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐴𝑠 𝐴)
32ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 𝐴)
4 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 We 𝐴)
5 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑟 ∈ V
6 exse2 7908 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ V → 𝑟 Se 𝐴)
75, 6mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 Se 𝐴)
8 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ≠ ∅)
9 wereu2 5674 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 We 𝐴𝑟 Se 𝐴) ∧ (𝑠 𝐴𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
104, 7, 3, 8, 9syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
11 riotacl 7383 . . . . . . . . 9 (∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎 → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
133, 12sseldd 3984 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝐴)
141, 13sylan2b 595 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝐴)
15 dfac8clem.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
1614, 15fmptd 7114 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶ 𝐴)
17 difexg 5328 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
1817adantr 482 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
19 uniexg 7730 . . . . . 6 (𝐴𝐵 𝐴 ∈ V)
2019adantr 482 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
21 fex2 7924 . . . . 5 ((𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
2216, 18, 20, 21syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
23 riotaex 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V
2415fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2523, 24mpan2 690 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
261, 25sylbir 234 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2726adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2827, 12eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)
2928expr 458 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
3029ralrimiva 3147 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∀𝑠𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
31 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑠 𝑧 ≠ ∅
32 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . 10 𝑠(𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
3315, 32nfcxfr 2902 . . . . . . . . 9 𝑠𝐹
34 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑠𝑧
3533, 34nffv 6902 . . . . . . . 8 𝑠(𝐹𝑧)
3635nfel1 2920 . . . . . . 7 𝑠(𝐹𝑧) ∈ 𝑧
3731, 36nfim 1900 . . . . . 6 𝑠(𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)
38 nfv 1918 . . . . . 6 𝑧(𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)
39 neeq1 3004 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
40 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑠))
41 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠𝑧 = 𝑠)
4240, 41eleq12d 2828 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
4339, 42imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑠 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)))
4437, 38, 43cbvralw 3304 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
4530, 44sylibr 233 . . . 4 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
46 fveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑧) = (𝐹𝑧))
4746eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
4847imbi2d 341 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)))
4948ralbidv 3178 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)))
5022, 45, 49spcedv 3589 . . 3 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
5150ex 414 . 2 (𝐴𝐵 → (𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5251exlimdv 1937 1 (𝐴𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  ∃!wreu 3375  Vcvv 3475  cdif 3946  wss 3949  c0 4323  {csn 4629   cuni 4909   class class class wbr 5149  cmpt 5232   Se wse 5630   We wwe 5631  wf 6540  cfv 6544  crio 7364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-riota 7365
This theorem is referenced by:  dfac8c  10028
  Copyright terms: Public domain W3C validator