Theorem dfac8clem 10029

Description: Lemma for dfac8c 10030. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfac8clem.1	⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))

Assertion

Ref	Expression
dfac8clem	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑟,𝑠,𝑧,𝐴   𝐵,𝑟,𝑠   𝑓,𝐹,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧,𝑓,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem dfac8clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅))
2		elssuni 4940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 → 𝑠 ⊆ ∪ 𝐴)
3	2	ad2antrl 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ⊆ ∪ 𝐴)
4		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 We ∪ 𝐴)
5		vex 3476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑟 ∈ V
6		exse2 7910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ V → 𝑟 Se ∪ 𝐴)
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 Se ∪ 𝐴)
8		simprr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ≠ ∅)
9		wereu2 5672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 We ∪ 𝐴 ∧ 𝑟 Se ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
10	4, 7, 3, 8, 9	syl22anc 835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
11		riotacl 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃!𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎 → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
13	3, 12	sseldd 3982	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ ∪ 𝐴)
14	1, 13	sylan2b 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ ∪ 𝐴)
15		dfac8clem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
16	14, 15	fmptd 7114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → 𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶∪ 𝐴)
17		difexg 5326	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
18	17	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
19		uniexg 7732	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∪ 𝐴 ∈ V)
20	19	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ V)
21		fex2 7926	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶∪ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V ∧ ∪ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
23		riotaex 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V
24	15	fvmpt2 7008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
25	23, 24	mpan2 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
26	1, 25	sylbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
27	26	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
28	27, 12	eqeltrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠)
29	28	expr 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
30	29	ralrimiva 3144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
31		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑧 ≠ ∅
32		nfmpt1 5255	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
33	15, 32	nfcxfr 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
34		nfcv 2901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝑧
35	33, 34	nffv 6900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠(𝐹‘𝑧)
36	35	nfel1 2917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠(𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧
37	31, 36	nfim 1897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧)
38		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠)
39		neeq1 3001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
40		fveq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑠))
41		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → 𝑧 = 𝑠)
42	40, 41	eleq12d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
43	39, 42	imbi12d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠)))
44	37, 38, 43	cbvralw 3301	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
45	30, 44	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧))
46		fveq1 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
47	46	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧))
48	47	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧)))
49	48	ralbidv 3175	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧)))
50	22, 45, 49	spcedv 3587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
51	50	ex 411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
52	51	exlimdv 1934	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃!wreu 3372  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {csn 4627  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Se wse 5628   We wwe 5629  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  ℩crio 7366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-riota 7367

This theorem is referenced by:  dfac8c  10030