MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8clem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac8clem 10070
Description: Lemma for dfac8c 10071. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfac8clem.1 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
Assertion
Ref Expression
dfac8clem (𝐴𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑟,𝑠,𝑧,𝐴   𝐵,𝑟,𝑠   𝑓,𝐹,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧,𝑓,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem dfac8clem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4791 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅))
2 elssuni 4942 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐴𝑠 𝐴)
32ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 𝐴)
4 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 We 𝐴)
5 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑟 ∈ V
6 exse2 7940 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ V → 𝑟 Se 𝐴)
75, 6mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 Se 𝐴)
8 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ≠ ∅)
9 wereu2 5686 . . . . . . . . . 10 (((𝑟 We 𝐴𝑟 Se 𝐴) ∧ (𝑠 𝐴𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
104, 7, 3, 8, 9syl22anc 839 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
11 riotacl 7405 . . . . . . . . 9 (∃!𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎 → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
133, 12sseldd 3996 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝐴)
141, 13sylan2b 594 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝐴)
15 dfac8clem.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
1614, 15fmptd 7134 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶ 𝐴)
17 difexg 5335 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
1817adantr 480 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
19 uniexg 7759 . . . . . 6 (𝐴𝐵 𝐴 ∈ V)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
21 fex2 7957 . . . . 5 ((𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
2216, 18, 20, 21syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
23 riotaex 7392 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V
2415fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2523, 24mpan2 691 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
261, 25sylbir 235 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2726adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹𝑠) = (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
2827, 12eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ (𝑠𝐴𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)
2928expr 456 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
3029ralrimiva 3144 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∀𝑠𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
31 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑠 𝑧 ≠ ∅
32 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . 10 𝑠(𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (𝑎𝑠𝑏𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
3315, 32nfcxfr 2901 . . . . . . . . 9 𝑠𝐹
34 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑠𝑧
3533, 34nffv 6917 . . . . . . . 8 𝑠(𝐹𝑧)
3635nfel1 2920 . . . . . . 7 𝑠(𝐹𝑧) ∈ 𝑧
3731, 36nfim 1894 . . . . . 6 𝑠(𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)
38 nfv 1912 . . . . . 6 𝑧(𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)
39 neeq1 3001 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
40 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑠))
41 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠𝑧 = 𝑠)
4240, 41eleq12d 2833 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
4339, 42imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑠 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠)))
4437, 38, 43cbvralw 3304 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑠𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹𝑠) ∈ 𝑠))
4530, 44sylibr 234 . . . 4 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
46 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑧) = (𝐹𝑧))
4746eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
4847imbi2d 340 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)))
4948ralbidv 3176 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧)))
5022, 45, 49spcedv 3598 . . 3 ((𝐴𝐵𝑟 We 𝐴) → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
5150ex 412 . 2 (𝐴𝐵 → (𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5251exlimdv 1931 1 (𝐴𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑓𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  ∃!wreu 3376  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Se wse 5639   We wwe 5640  wf 6559  cfv 6563  crio 7387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-riota 7388
This theorem is referenced by:  dfac8c  10071
  Copyright terms: Public domain W3C validator