Theorem ween 10007

Description: A set is numerable iff it can be well-ordered. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ween	⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑟

Proof of Theorem ween

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac8b 10003	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
2		weso 5643	. . . . 5 ⊢ (𝑟 We 𝐴 → 𝑟 Or 𝐴)
3		vex 3461	. . . . 5 ⊢ 𝑟 ∈ V
4		soex 7906	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 Or 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝑟 We 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1953	. . 3 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7		unipw 5422	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
8		weeq2 5640	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑟 We 𝐴))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑟 We 𝐴)
10	9	exbii 1871	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
11	10	biimpri 231	. . 3 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴)
12		pwexg 5340	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13		dfac8c 10005	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
15		dfac8a 10002	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card))
16	14, 15	syld 48	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card))
17	6, 11, 16	sylc 66	. 2 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card)
18	1, 17	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  Vcvv 3457  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  ∪ cuni 4868   Or wor 5559   We wwe 5604  dom cdm 5652  ‘cfv 6525  cardccrd 9909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-en 8932  df-card 9913

This theorem is referenced by:  ondomen  10009  dfac10  10109  zorn2lem7  10474  fpwwe  10619  canthnumlem  10621  canthp1lem2  10626  pwfseqlem4a  10634  pwfseqlem4  10635  numiunnum  36843  fin2so  38118