MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ween Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ween 9061
Description: A set is numerable iff it can be well-ordered. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
ween (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑟

Proof of Theorem ween
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac8b 9057 . 2 (𝐴 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
2 weso 5241 . . . . 5 (𝑟 We 𝐴𝑟 Or 𝐴)
3 vex 3354 . . . . 5 𝑟 ∈ V
4 soex 7259 . . . . 5 ((𝑟 Or 𝐴𝑟 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
52, 3, 4sylancl 574 . . . 4 (𝑟 We 𝐴𝐴 ∈ V)
65exlimiv 2010 . . 3 (∃𝑟 𝑟 We 𝐴𝐴 ∈ V)
7 unipw 5047 . . . . . 6 𝒫 𝐴 = 𝐴
8 weeq2 5239 . . . . . 6 ( 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝑟 We 𝒫 𝐴𝑟 We 𝐴))
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 (𝑟 We 𝒫 𝐴𝑟 We 𝐴)
109exbii 1924 . . . 4 (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴 ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
1110biimpri 218 . . 3 (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴)
12 pwexg 4981 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13 dfac8c 9059 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴 → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴 → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
15 dfac8a 9056 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card))
1614, 15syld 47 . . 3 (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴𝐴 ∈ dom card))
176, 11, 16sylc 65 . 2 (∃𝑟 𝑟 We 𝐴𝐴 ∈ dom card)
181, 17impbii 199 1 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  Vcvv 3351  c0 4063  𝒫 cpw 4298   cuni 4575   Or wor 5170   We wwe 5208  dom cdm 5250  cfv 6030  cardccrd 8964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-en 8113  df-card 8968
This theorem is referenced by:  ondomen  9063  dfac10  9164  zorn2lem7  9529  fpwwe  9673  canthnumlem  9675  canthp1lem2  9680  pwfseqlem4a  9688  pwfseqlem4  9689  fin2so  33728
  Copyright terms: Public domain W3C validator