MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ween Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ween 9109
Description: A set is numerable iff it can be well-ordered. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
ween (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑟

Proof of Theorem ween
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac8b 9105 . 2 (𝐴 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
2 weso 5268 . . . . 5 (𝑟 We 𝐴𝑟 Or 𝐴)
3 vex 3353 . . . . 5 𝑟 ∈ V
4 soex 7307 . . . . 5 ((𝑟 Or 𝐴𝑟 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
52, 3, 4sylancl 580 . . . 4 (𝑟 We 𝐴𝐴 ∈ V)
65exlimiv 2025 . . 3 (∃𝑟 𝑟 We 𝐴𝐴 ∈ V)
7 unipw 5074 . . . . . 6 𝒫 𝐴 = 𝐴
8 weeq2 5266 . . . . . 6 ( 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝑟 We 𝒫 𝐴𝑟 We 𝐴))
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 (𝑟 We 𝒫 𝐴𝑟 We 𝐴)
109exbii 1943 . . . 4 (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴 ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
1110biimpri 219 . . 3 (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴)
12 pwexg 5014 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13 dfac8c 9107 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴 → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴 → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
15 dfac8a 9104 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card))
1614, 15syld 47 . . 3 (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴𝐴 ∈ dom card))
176, 11, 16sylc 65 . 2 (∃𝑟 𝑟 We 𝐴𝐴 ∈ dom card)
181, 17impbii 200 1 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  c0 4079  𝒫 cpw 4315   cuni 4594   Or wor 5197   We wwe 5235  dom cdm 5277  cfv 6068  cardccrd 9012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-en 8161  df-card 9016
This theorem is referenced by:  ondomen  9111  dfac10  9212  zorn2lem7  9577  fpwwe  9721  canthnumlem  9723  canthp1lem2  9728  pwfseqlem4a  9736  pwfseqlem4  9737  fin2so  33820
  Copyright terms: Public domain W3C validator