Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ween Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ween 9508
 Description: A set is numerable iff it can be well-ordered. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
ween (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑟

Proof of Theorem ween
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac8b 9504 . 2 (𝐴 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
2 weso 5519 . . . . 5 (𝑟 We 𝐴𝑟 Or 𝐴)
3 vex 3413 . . . . 5 𝑟 ∈ V
4 soex 7637 . . . . 5 ((𝑟 Or 𝐴𝑟 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
52, 3, 4sylancl 589 . . . 4 (𝑟 We 𝐴𝐴 ∈ V)
65exlimiv 1931 . . 3 (∃𝑟 𝑟 We 𝐴𝐴 ∈ V)
7 unipw 5315 . . . . . 6 𝒫 𝐴 = 𝐴
8 weeq2 5517 . . . . . 6 ( 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝑟 We 𝒫 𝐴𝑟 We 𝐴))
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 (𝑟 We 𝒫 𝐴𝑟 We 𝐴)
109exbii 1849 . . . 4 (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴 ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
1110biimpri 231 . . 3 (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴)
12 pwexg 5251 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13 dfac8c 9506 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴 → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴 → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
15 dfac8a 9503 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card))
1614, 15syld 47 . . 3 (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴𝐴 ∈ dom card))
176, 11, 16sylc 65 . 2 (∃𝑟 𝑟 We 𝐴𝐴 ∈ dom card)
181, 17impbii 212 1 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  Vcvv 3409  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4801   Or wor 5446   We wwe 5486  dom cdm 5528  ‘cfv 6340  cardccrd 9410 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-en 8541  df-card 9414 This theorem is referenced by:  ondomen  9510  dfac10  9610  zorn2lem7  9975  fpwwe  10119  canthnumlem  10121  canthp1lem2  10126  pwfseqlem4a  10134  pwfseqlem4  10135  fin2so  35358
 Copyright terms: Public domain W3C validator