MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ween Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ween 10026
Description: A set is numerable iff it can be well-ordered. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
ween (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑟

Proof of Theorem ween
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac8b 10022 . 2 (𝐴 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
2 weso 5666 . . . . 5 (𝑟 We 𝐴𝑟 Or 𝐴)
3 vex 3479 . . . . 5 𝑟 ∈ V
4 soex 7907 . . . . 5 ((𝑟 Or 𝐴𝑟 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
52, 3, 4sylancl 587 . . . 4 (𝑟 We 𝐴𝐴 ∈ V)
65exlimiv 1934 . . 3 (∃𝑟 𝑟 We 𝐴𝐴 ∈ V)
7 unipw 5449 . . . . . 6 𝒫 𝐴 = 𝐴
8 weeq2 5664 . . . . . 6 ( 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝑟 We 𝒫 𝐴𝑟 We 𝐴))
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 (𝑟 We 𝒫 𝐴𝑟 We 𝐴)
109exbii 1851 . . . 4 (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴 ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
1110biimpri 227 . . 3 (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴)
12 pwexg 5375 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13 dfac8c 10024 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴 → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴 → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
15 dfac8a 10021 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card))
1614, 15syld 47 . . 3 (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝒫 𝐴𝐴 ∈ dom card))
176, 11, 16sylc 65 . 2 (∃𝑟 𝑟 We 𝐴𝐴 ∈ dom card)
181, 17impbii 208 1 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3475  c0 4321  𝒫 cpw 4601   cuni 4907   Or wor 5586   We wwe 5629  dom cdm 5675  cfv 6540  cardccrd 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-en 8936  df-card 9930
This theorem is referenced by:  ondomen  10028  dfac10  10128  zorn2lem7  10493  fpwwe  10637  canthnumlem  10639  canthp1lem2  10644  pwfseqlem4a  10652  pwfseqlem4  10653  fin2so  36413
  Copyright terms: Public domain W3C validator