Theorem ween 10141

Description: A set is numerable iff it can be well-ordered. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ween	⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑟

Proof of Theorem ween

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac8b 10137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
2		weso 5646	. . . . 5 ⊢ (𝑟 We 𝐴 → 𝑟 Or 𝐴)
3		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑟 ∈ V
4		soex 7957	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 Or 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑟 We 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1965	. . 3 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7		unipw 5422	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
8		weeq2 5643	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑟 We 𝐴))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑟 We 𝐴)
10	9	exbii 1881	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
11	10	biimpri 231	. . 3 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴)
12		pwexg 5344	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13		dfac8c 10139	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
15		dfac8a 10136	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card))
16	14, 15	syld 48	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card))
17	6, 11, 16	sylc 66	. 2 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card)
18	1, 17	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870   Or wor 5562   We wwe 5607  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  cardccrd 10043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-en 9002  df-card 10047

This theorem is used by:  ondomen  10143  dfac10  10243  zorn2lem7  10607  fpwwe  10758  canthnumlem  10760  canthp1lem2  10765  pwfseqlem4a  10773  pwfseqlem4  10774  weexenwe  35848  numiunnum  37436  fin2so  38722