Theorem ween 9955

Description: A set is numerable iff it can be well-ordered. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ween	⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑟

Proof of Theorem ween

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac8b 9951	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
2		weso 5616	. . . . 5 ⊢ (𝑟 We 𝐴 → 𝑟 Or 𝐴)
3		vex 3436	. . . . 5 ⊢ 𝑟 ∈ V
4		soex 7868	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 Or 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancl 592	. . . 4 ⊢ (𝑟 We 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1937	. . 3 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7		unipw 5396	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
8		weeq2 5613	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑟 We 𝐴))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑟 We 𝐴)
10	9	exbii 1855	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
11	10	biimpri 229	. . 3 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴)
12		pwexg 5314	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
13		dfac8c 9953	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
15		dfac8a 9950	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card))
16	14, 15	syld 47	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card))
17	6, 11, 16	sylc 65	. 2 ⊢ (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card)
18	1, 17	impbii 210	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  Vcvv 3432  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  ∪ cuni 4845   Or wor 5532   We wwe 5577  dom cdm 5625  ‘cfv 6492  cardccrd 9857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-en 8891  df-card 9861

This theorem is referenced by:  ondomen  9957  dfac10  10058  zorn2lem7  10422  fpwwe  10567  canthnumlem  10569  canthp1lem2  10574  pwfseqlem4a  10582  pwfseqlem4  10583  numiunnum  36699  fin2so  37975