Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibval 40524
Description: The partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dibval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dibval.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dibval.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dibval.o 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dibval.j 𝐽 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dibval.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dibval (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝐽(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dibval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dibval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dibval.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 dibval.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 dibval.o . . . . 5 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
5 dibval.j . . . . 5 𝐽 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dibval.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6dibfval 40523 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼 = (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 })))
87adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ 𝐼 = (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 })))
98fveq1d 6886 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }))β€˜π‘‹))
10 fveq2 6884 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π½β€˜π‘₯) = (π½β€˜π‘‹))
1110xpeq1d 5698 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
12 eqid 2726 . . . 4 (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 })) = (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }))
13 fvex 6897 . . . . 5 (π½β€˜π‘‹) ∈ V
14 snex 5424 . . . . 5 { 0 } ∈ V
1513, 14xpex 7736 . . . 4 ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }) ∈ V
1611, 12, 15fvmpt 6991 . . 3 (𝑋 ∈ dom 𝐽 β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }))β€˜π‘‹) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
1716adantl 481 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }))β€˜π‘‹) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
189, 17eqtrd 2766 1 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  LHypclh 39366  LTrncltrn 39483  DIsoAcdia 40410  DIsoBcdib 40520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-dib 40521
This theorem is referenced by:  dibopelvalN  40525  dibval2  40526  dibvalrel  40545
  Copyright terms: Public domain W3C validator