Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibval 40615
Description: The partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dibval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dibval.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dibval.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dibval.o 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dibval.j 𝐽 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dibval.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dibval (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝐽(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dibval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dibval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dibval.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 dibval.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 dibval.o . . . . 5 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
5 dibval.j . . . . 5 𝐽 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dibval.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6dibfval 40614 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼 = (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 })))
87adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ 𝐼 = (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 })))
98fveq1d 6899 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }))β€˜π‘‹))
10 fveq2 6897 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π½β€˜π‘₯) = (π½β€˜π‘‹))
1110xpeq1d 5707 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
12 eqid 2728 . . . 4 (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 })) = (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }))
13 fvex 6910 . . . . 5 (π½β€˜π‘‹) ∈ V
14 snex 5433 . . . . 5 { 0 } ∈ V
1513, 14xpex 7755 . . . 4 ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }) ∈ V
1611, 12, 15fvmpt 7005 . . 3 (𝑋 ∈ dom 𝐽 β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }))β€˜π‘‹) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
1716adantl 481 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }))β€˜π‘‹) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
189, 17eqtrd 2768 1 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4629   ↦ cmpt 5231   I cid 5575   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678   β†Ύ cres 5680  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  LHypclh 39457  LTrncltrn 39574  DIsoAcdia 40501  DIsoBcdib 40611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-dib 40612
This theorem is referenced by:  dibopelvalN  40616  dibval2  40617  dibvalrel  40636
  Copyright terms: Public domain W3C validator