Theorem dibval 42167

Description: The partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibval.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dibval.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dibval.j	⊢ 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dibval.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibval	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) → (𝐼‘𝑋) = ((𝐽‘𝑋) × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝐽(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dibval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dibval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dibval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		dibval.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
5		dibval.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
6		dibval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dibfval 42166	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 = (𝑥 ∈ dom 𝐽 ↦ ((𝐽‘𝑥) × { 0 })))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) → 𝐼 = (𝑥 ∈ dom 𝐽 ↦ ((𝐽‘𝑥) × { 0 })))
9	8	fveq1d 6879	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) → (𝐼‘𝑋) = ((𝑥 ∈ dom 𝐽 ↦ ((𝐽‘𝑥) × { 0 }))‘𝑋))
10		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐽‘𝑥) = (𝐽‘𝑋))
11	10	xpeq1d 5680	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐽‘𝑥) × { 0 }) = ((𝐽‘𝑋) × { 0 }))
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐽 ↦ ((𝐽‘𝑥) × { 0 })) = (𝑥 ∈ dom 𝐽 ↦ ((𝐽‘𝑥) × { 0 }))
13		fvex 6890	. . . . 5 ⊢ (𝐽‘𝑋) ∈ V
14		snex 5397	. . . . 5 ⊢ { 0 } ∈ V
15	13, 14	xpex 7756	. . . 4 ⊢ ((𝐽‘𝑋) × { 0 }) ∈ V
16	11, 12, 15	fvmpt 6985	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐽 → ((𝑥 ∈ dom 𝐽 ↦ ((𝐽‘𝑥) × { 0 }))‘𝑋) = ((𝐽‘𝑋) × { 0 }))
17	16	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) → ((𝑥 ∈ dom 𝐽 ↦ ((𝐽‘𝑥) × { 0 }))‘𝑋) = ((𝐽‘𝑋) × { 0 }))
18	9, 17	eqtrd 2796	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) → (𝐼‘𝑋) = ((𝐽‘𝑋) × { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   I cid 5545   × cxp 5649  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  LHypclh 41009  LTrncltrn 41126  DIsoAcdia 42053  DIsoBcdib 42163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-dib 42164

This theorem is used by:  dibopelvalN  42168  dibval2  42169  dibvalrel  42188