Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibval 39608
Description: The partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dibval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dibval.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dibval.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dibval.o 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dibval.j 𝐽 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dibval.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dibval (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝐽(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dibval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dibval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dibval.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 dibval.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 dibval.o . . . . 5 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
5 dibval.j . . . . 5 𝐽 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dibval.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6dibfval 39607 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼 = (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 })))
87adantr 482 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ 𝐼 = (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 })))
98fveq1d 6845 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }))β€˜π‘‹))
10 fveq2 6843 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π½β€˜π‘₯) = (π½β€˜π‘‹))
1110xpeq1d 5663 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
12 eqid 2737 . . . 4 (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 })) = (π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }))
13 fvex 6856 . . . . 5 (π½β€˜π‘‹) ∈ V
14 snex 5389 . . . . 5 { 0 } ∈ V
1513, 14xpex 7688 . . . 4 ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }) ∈ V
1611, 12, 15fvmpt 6949 . . 3 (𝑋 ∈ dom 𝐽 β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }))β€˜π‘‹) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
1716adantl 483 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐽 ↦ ((π½β€˜π‘₯) Γ— { 0 }))β€˜π‘‹) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
189, 17eqtrd 2777 1 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((π½β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4587   ↦ cmpt 5189   I cid 5531   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  DIsoAcdia 39494  DIsoBcdib 39604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-dib 39605
This theorem is referenced by:  dibopelvalN  39609  dibval2  39610  dibvalrel  39629
  Copyright terms: Public domain W3C validator