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Theorem disjrnmpt2 39954
Description: Disjointness of the range of a function in maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
disjrnmpt2.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
disjrnmpt2 (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem disjrnmpt2
Dummy variables 𝑢 𝑧 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑤𝑦 = 𝑤)
21cbvdisjv 4788 . . . . . 6 (Disj 𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦Disj 𝑤 ∈ ran 𝐹 𝑤)
32notbii 311 . . . . 5 Disj 𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ↔ ¬ Disj 𝑤 ∈ ran 𝐹 𝑤)
4 id 22 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑣𝑤 = 𝑣)
54ndisj2 39801 . . . . . 6 Disj 𝑤 ∈ ran 𝐹 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹(𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅))
65biimpi 207 . . . . 5 Disj 𝑤 ∈ ran 𝐹 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹(𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅))
73, 6sylbi 208 . . . 4 Disj 𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 → ∃𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹(𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅))
8 disjrnmpt2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
98elrnmpt 5541 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ran 𝐹 → (𝑤 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵))
109ibi 258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
1110adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
12 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝐵
13 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵
14 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
1512, 13, 14cbvmpt 4908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑧𝐴𝑧 / 𝑥𝐵)
168, 15eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑧𝐴𝑧 / 𝑥𝐵)
1716elrnmpt 5541 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran 𝐹 → (𝑣 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵))
1817ibi 258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑧𝐴 𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
1918adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑧𝐴 𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
2011, 19jca 507 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) → (∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵 ∧ ∃𝑧𝐴 𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵))
21 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑤 = 𝐵
22 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑣
2322, 13nfeq 2919 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵
2421, 23reean 3253 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵 ∧ ∃𝑧𝐴 𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵))
2520, 24sylibr 225 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵))
2625adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵))
27 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑤
28 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
298, 28nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐹
3029nfrn 5537 . . . . . . . . . . . 12 𝑥ran 𝐹
3127, 30nfel 2920 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑤 ∈ ran 𝐹
3230nfcri 2901 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑣 ∈ ran 𝐹
3331, 32nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹)
34 nfv 2009 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅)
3533, 34nfan 1998 . . . . . . . . 9 𝑥((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅))
36 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑤 = 𝐵)
3714adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
3938eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐵 = 𝑣)
4039ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑧 / 𝑥𝐵 = 𝑣)
4136, 37, 403eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑣)
4241adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤𝑣 ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑣)
43 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤𝑣 ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑤𝑣)
4443neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤𝑣 ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ¬ 𝑤 = 𝑣)
4542, 44pm2.65da 851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝑣 ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝑧)
4645neqned 2944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤𝑣 ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) → 𝑥𝑧)
4746adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅) ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) → 𝑥𝑧)
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝐵𝑤 = 𝐵)
4948eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝐵𝐵 = 𝑤)
5049ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤𝑣) ≠ ∅ ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) → 𝐵 = 𝑤)
5139ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤𝑣) ≠ ∅ ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) → 𝑧 / 𝑥𝐵 = 𝑣)
5250, 51ineq12d 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤𝑣) ≠ ∅ ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) → (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) = (𝑤𝑣))
53 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤𝑣) ≠ ∅ ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) → (𝑤𝑣) ≠ ∅)
5452, 53eqnetrd 3004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤𝑣) ≠ ∅ ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) → (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)
5554adantll 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅) ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) → (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)
5647, 55jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅) ∧ (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵)) → (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅))
5756ex 401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅) → ((𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵) → (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)))
5857adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅)) → ((𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵) → (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)))
5958reximdv 3162 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅)) → (∃𝑧𝐴 (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)))
6059a1d 25 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅)) → (𝑥𝐴 → (∃𝑧𝐴 (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅))))
6135, 60reximdai 3158 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅)) → (∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑤 = 𝐵𝑣 = 𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)))
6226, 61mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅))
6362ex 401 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) → ((𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)))
6463a1i 11 . . . . 5 Disj 𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 → ((𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹) → ((𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅))))
6564rexlimdvv 3184 . . . 4 Disj 𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ran 𝐹𝑣 ∈ ran 𝐹(𝑤𝑣 ∧ (𝑤𝑣) ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)))
667, 65mpd 15 . . 3 Disj 𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 → ∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅))
67 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑢𝐵
68 nfcsb1v 3707 . . . . . 6 𝑥𝑢 / 𝑥𝐵
69 csbeq1a 3700 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑢𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
7067, 68, 69cbvdisj 4787 . . . . 5 (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑥𝐵)
7170notbii 311 . . . 4 Disj 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ¬ Disj 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑥𝐵)
72 csbeq1a 3700 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑧𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝑧 / 𝑢𝑢 / 𝑥𝐵)
73 csbco 3701 . . . . . . . 8 𝑧 / 𝑢𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵
7473a1i 11 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑧𝑧 / 𝑢𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
7572, 74eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑧𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
7675ndisj2 39801 . . . . 5 Disj 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑢𝐴𝑧𝐴 (𝑢𝑧 ∧ (𝑢 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅))
77 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥𝐴
78 nfv 2009 . . . . . . . 8 𝑥 𝑢𝑧
7968, 13nfin 3980 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑢 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐵)
80 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑥
8179, 80nfne 3037 . . . . . . . 8 𝑥(𝑢 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅
8278, 81nfan 1998 . . . . . . 7 𝑥(𝑢𝑧 ∧ (𝑢 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)
8377, 82nfrex 3153 . . . . . 6 𝑥𝑧𝐴 (𝑢𝑧 ∧ (𝑢 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)
84 nfv 2009 . . . . . 6 𝑢𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)
85 neeq1 2999 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢𝑧𝑥𝑧))
86 csbeq1 3694 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑥𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑥𝐵)
87 csbid 3699 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 / 𝑥𝐵 = 𝐵
8887a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑥𝑥 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
8986, 88eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑥𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
9089ineq1d 3975 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) = (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵))
9190neeq1d 2996 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅))
9285, 91anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢𝑧 ∧ (𝑢 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅) ↔ (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)))
9392rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑥 → (∃𝑧𝐴 (𝑢𝑧 ∧ (𝑢 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)))
9483, 84, 93cbvrex 3316 . . . . 5 (∃𝑢𝐴𝑧𝐴 (𝑢𝑧 ∧ (𝑢 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅) ↔ ∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅))
9576, 94bitri 266 . . . 4 Disj 𝑢𝐴 𝑢 / 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅))
9671, 95bitri 266 . . 3 Disj 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑧 ∧ (𝐵𝑧 / 𝑥𝐵) ≠ ∅))
9766, 96sylibr 225 . 2 Disj 𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 → ¬ Disj 𝑥𝐴 𝐵)
9897con4i 114 1 (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  csb 3691  cin 3731  c0 4079  Disj wdisj 4777  cmpt 4888  ran crn 5278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-cnv 5285  df-dm 5287  df-rn 5288
This theorem is referenced by:  meadjiun  41252
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