Theorem elrnmpt 5981

Description: The range of a function in maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrnmpt	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2744	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐵))
2	1	rexbidv 3185	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	rnmpt 5980	. 2 ⊢ ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
5	2, 4	elab2g 3696	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711

This theorem is referenced by:  elrnmpt1s  5982  elrnmptd  5986  elrnmptdv  5988  elrnmpt2d  5989  elimampt  6072  onnseq  8400  oarec  8618  fifo  9501  infpwfien  10131  fin23lem38  10418  fin1a2lem13  10481  ac6num  10548  isercoll2  15717  iserodd  16882  gsumwspan  18881  odf1o2  19615  mplcoe5lem  22080  neitr  23209  ordtbas2  23220  ordtopn1  23223  ordtopn2  23224  pnfnei  23249  mnfnei  23250  pnrmcld  23371  2ndcomap  23487  dis2ndc  23489  ptpjopn  23641  fbasrn  23913  elfm  23976  rnelfmlem  23981  rnelfm  23982  fmfnfmlem3  23985  fmfnfmlem4  23986  fmfnfm  23987  ptcmplem2  24082  tsmsfbas  24157  ustuqtoplem  24269  utopsnneiplem  24277  utopsnnei  24279  utopreg  24282  fmucnd  24322  neipcfilu  24326  imasdsf1olem  24404  xpsdsval  24412  met1stc  24555  metustel  24584  metustsym  24589  metuel2  24599  metustbl  24600  restmetu  24604  xrtgioo  24847  minveclem3b  25481  uniioombllem3  25639  dvivth  26069  gausslemma2dlem1a  27427  acunirnmpt  32677  acunirnmpt2  32678  acunirnmpt2f  32679  fnpreimac  32689  trsp2cyc  33116  nsgqusf1olem2  33407  nsgqusf1olem3  33408  locfinreflem  33786  zarclsint  33818  zarcls  33820  ordtconnlem1  33870  esumcst  34027  esumrnmpt2  34032  measdivcstALTV  34189  oms0  34262  omssubadd  34265  cvmsss2  35242  poimirlem16  37596  poimirlem19  37599  poimirlem24  37604  poimirlem27  37607  itg2addnclem2  37632  nelrnmpt  44986  suprnmpt  45081  rnmptpr  45084  wessf1ornlem  45092  disjrnmpt2  45095  disjf1o  45098  disjinfi  45099  choicefi  45107  rnmptlb  45152  rnmptbddlem  45153  rnmptbd2lem  45157  infnsuprnmpt  45159  elmptima  45167  supxrleubrnmpt  45321  suprleubrnmpt  45337  infrnmptle  45338  infxrunb3rnmpt  45343  supminfrnmpt  45360  infxrgelbrnmpt  45369  infrpgernmpt  45380  supminfxrrnmpt  45386  stoweidlem27  45948  stoweidlem31  45952  stoweidlem35  45956  stirlinglem5  45999  stirlinglem13  46007  fourierdlem80  46107  fourierdlem93  46120  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  subsaliuncllem  46278  subsaliuncl  46279  sge0rnn0  46289  sge00  46297  fsumlesge0  46298  sge0tsms  46301  sge0cl  46302  sge0f1o  46303  sge0fsum  46308  sge0supre  46310  sge0rnbnd  46314  sge0pnffigt  46317  sge0lefi  46319  sge0ltfirp  46321  sge0resplit  46327  sge0split  46330  sge0reuz  46368  sge0reuzb  46369  hoidmvlelem2  46517  smfpimcc  46729