MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrnmpt 5909
Description: The range of a function in maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rnmpt.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
elrnmpt (𝐶𝑉 → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐶 = 𝐵))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2740 . . 3 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐵𝐶 = 𝐵))
21rexbidv 3173 . 2 (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐶 = 𝐵))
3 rnmpt.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
43rnmpt 5908 . 2 ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
52, 4elab2g 3630 1 (𝐶𝑉 → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐶 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  cmpt 5186  ran crn 5632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642
This theorem is referenced by:  elrnmpt1s  5910  elrnmptd  5914  elrnmptdv  5915  elrnmpt2d  5916  onnseq  8286  oarec  8505  fifo  9364  infpwfien  9994  fin23lem38  10281  fin1a2lem13  10344  ac6num  10411  isercoll2  15545  iserodd  16699  gsumwspan  18648  odf1o2  19346  mplcoe5lem  21424  neitr  22515  ordtbas2  22526  ordtopn1  22529  ordtopn2  22530  pnfnei  22555  mnfnei  22556  pnrmcld  22677  2ndcomap  22793  dis2ndc  22795  ptpjopn  22947  fbasrn  23219  elfm  23282  rnelfmlem  23287  rnelfm  23288  fmfnfmlem3  23291  fmfnfmlem4  23292  fmfnfm  23293  ptcmplem2  23388  tsmsfbas  23463  ustuqtoplem  23575  utopsnneiplem  23583  utopsnnei  23585  utopreg  23588  fmucnd  23628  neipcfilu  23632  imasdsf1olem  23710  xpsdsval  23718  met1stc  23861  metustel  23890  metustsym  23895  metuel2  23905  metustbl  23906  restmetu  23910  xrtgioo  24153  minveclem3b  24776  uniioombllem3  24933  dvivth  25358  gausslemma2dlem1a  26697  elimampt  31438  acunirnmpt  31461  acunirnmpt2  31462  acunirnmpt2f  31463  fnpreimac  31473  trsp2cyc  31855  nsgqusf1olem2  32075  nsgqusf1olem3  32076  locfinreflem  32290  zarclsint  32322  zarcls  32324  ordtconnlem1  32374  esumcst  32531  esumrnmpt2  32536  measdivcstALTV  32693  oms0  32766  omssubadd  32769  cvmsss2  33737  poimirlem16  36061  poimirlem19  36064  poimirlem24  36069  poimirlem27  36072  itg2addnclem2  36097  nelrnmpt  43236  suprnmpt  43327  rnmptpr  43330  wessf1ornlem  43339  disjrnmpt2  43343  disjf1o  43346  disjinfi  43348  choicefi  43357  rnmptlb  43406  rnmptbddlem  43407  rnmptbd2lem  43412  infnsuprnmpt  43414  elmptima  43422  supxrleubrnmpt  43577  suprleubrnmpt  43593  infrnmptle  43594  infxrunb3rnmpt  43599  supminfrnmpt  43616  infxrgelbrnmpt  43625  infrpgernmpt  43636  supminfxrrnmpt  43642  stoweidlem27  44200  stoweidlem31  44204  stoweidlem35  44208  stirlinglem5  44251  stirlinglem13  44259  fourierdlem80  44359  fourierdlem93  44372  fourierdlem103  44382  fourierdlem104  44383  subsaliuncllem  44530  subsaliuncl  44531  sge0rnn0  44541  sge00  44549  fsumlesge0  44550  sge0tsms  44553  sge0cl  44554  sge0f1o  44555  sge0fsum  44560  sge0supre  44562  sge0rnbnd  44566  sge0pnffigt  44569  sge0lefi  44571  sge0ltfirp  44573  sge0resplit  44579  sge0split  44582  sge0reuz  44620  sge0reuzb  44621  hoidmvlelem2  44769  smfpimcc  44981
  Copyright terms: Public domain W3C validator