Theorem elrnmpt 5956

Description: The range of a function in maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrnmpt	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2737	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐵))
2	1	rexbidv 3179	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	rnmpt 5955	. 2 ⊢ ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
5	2, 4	elab2g 3671	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688

This theorem is referenced by:  elrnmpt1s  5957  elrnmptd  5961  elrnmptdv  5962  elrnmpt2d  5963  onnseq  8344  oarec  8562  fifo  9427  infpwfien  10057  fin23lem38  10344  fin1a2lem13  10407  ac6num  10474  isercoll2  15615  iserodd  16768  gsumwspan  18727  odf1o2  19441  mplcoe5lem  21594  neitr  22684  ordtbas2  22695  ordtopn1  22698  ordtopn2  22699  pnfnei  22724  mnfnei  22725  pnrmcld  22846  2ndcomap  22962  dis2ndc  22964  ptpjopn  23116  fbasrn  23388  elfm  23451  rnelfmlem  23456  rnelfm  23457  fmfnfmlem3  23460  fmfnfmlem4  23461  fmfnfm  23462  ptcmplem2  23557  tsmsfbas  23632  ustuqtoplem  23744  utopsnneiplem  23752  utopsnnei  23754  utopreg  23757  fmucnd  23797  neipcfilu  23801  imasdsf1olem  23879  xpsdsval  23887  met1stc  24030  metustel  24059  metustsym  24064  metuel2  24074  metustbl  24075  restmetu  24079  xrtgioo  24322  minveclem3b  24945  uniioombllem3  25102  dvivth  25527  gausslemma2dlem1a  26868  elimampt  31893  acunirnmpt  31915  acunirnmpt2  31916  acunirnmpt2f  31917  fnpreimac  31927  trsp2cyc  32313  nsgqusf1olem2  32556  nsgqusf1olem3  32557  locfinreflem  32851  zarclsint  32883  zarcls  32885  ordtconnlem1  32935  esumcst  33092  esumrnmpt2  33097  measdivcstALTV  33254  oms0  33327  omssubadd  33330  cvmsss2  34296  poimirlem16  36552  poimirlem19  36555  poimirlem24  36560  poimirlem27  36563  itg2addnclem2  36588  nelrnmpt  43821  suprnmpt  43918  rnmptpr  43921  wessf1ornlem  43930  disjrnmpt2  43934  disjf1o  43937  disjinfi  43939  choicefi  43947  rnmptlb  43995  rnmptbddlem  43996  rnmptbd2lem  44000  infnsuprnmpt  44002  elmptima  44010  supxrleubrnmpt  44164  suprleubrnmpt  44180  infrnmptle  44181  infxrunb3rnmpt  44186  supminfrnmpt  44203  infxrgelbrnmpt  44212  infrpgernmpt  44223  supminfxrrnmpt  44229  stoweidlem27  44791  stoweidlem31  44795  stoweidlem35  44799  stirlinglem5  44842  stirlinglem13  44850  fourierdlem80  44950  fourierdlem93  44963  fourierdlem103  44973  fourierdlem104  44974  subsaliuncllem  45121  subsaliuncl  45122  sge0rnn0  45132  sge00  45140  fsumlesge0  45141  sge0tsms  45144  sge0cl  45145  sge0f1o  45146  sge0fsum  45151  sge0supre  45153  sge0rnbnd  45157  sge0pnffigt  45160  sge0lefi  45162  sge0ltfirp  45164  sge0resplit  45170  sge0split  45173  sge0reuz  45211  sge0reuzb  45212  hoidmvlelem2  45360  smfpimcc  45572