Theorem elrnmpt 5956

Description: The range of a function in maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrnmpt	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elrnmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2737	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐵))
2	1	rexbidv 3179	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))
3		rnmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	rnmpt 5955	. 2 ⊢ ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
5	2, 4	elab2g 3671	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688

This theorem is referenced by:  elrnmpt1s  5957  elrnmptd  5961  elrnmptdv  5962  elrnmpt2d  5963  onnseq  8344  oarec  8562  fifo  9427  infpwfien  10057  fin23lem38  10344  fin1a2lem13  10407  ac6num  10474  isercoll2  15615  iserodd  16768  gsumwspan  18727  odf1o2  19441  mplcoe5lem  21594  neitr  22684  ordtbas2  22695  ordtopn1  22698  ordtopn2  22699  pnfnei  22724  mnfnei  22725  pnrmcld  22846  2ndcomap  22962  dis2ndc  22964  ptpjopn  23116  fbasrn  23388  elfm  23451  rnelfmlem  23456  rnelfm  23457  fmfnfmlem3  23460  fmfnfmlem4  23461  fmfnfm  23462  ptcmplem2  23557  tsmsfbas  23632  ustuqtoplem  23744  utopsnneiplem  23752  utopsnnei  23754  utopreg  23757  fmucnd  23797  neipcfilu  23801  imasdsf1olem  23879  xpsdsval  23887  met1stc  24030  metustel  24059  metustsym  24064  metuel2  24074  metustbl  24075  restmetu  24079  xrtgioo  24322  minveclem3b  24945  uniioombllem3  25102  dvivth  25527  gausslemma2dlem1a  26868  elimampt  31862  acunirnmpt  31884  acunirnmpt2  31885  acunirnmpt2f  31886  fnpreimac  31896  trsp2cyc  32282  nsgqusf1olem2  32525  nsgqusf1olem3  32526  locfinreflem  32820  zarclsint  32852  zarcls  32854  ordtconnlem1  32904  esumcst  33061  esumrnmpt2  33066  measdivcstALTV  33223  oms0  33296  omssubadd  33299  cvmsss2  34265  poimirlem16  36504  poimirlem19  36507  poimirlem24  36512  poimirlem27  36515  itg2addnclem2  36540  nelrnmpt  43773  suprnmpt  43870  rnmptpr  43873  wessf1ornlem  43882  disjrnmpt2  43886  disjf1o  43889  disjinfi  43891  choicefi  43899  rnmptlb  43947  rnmptbddlem  43948  rnmptbd2lem  43952  infnsuprnmpt  43954  elmptima  43962  supxrleubrnmpt  44116  suprleubrnmpt  44132  infrnmptle  44133  infxrunb3rnmpt  44138  supminfrnmpt  44155  infxrgelbrnmpt  44164  infrpgernmpt  44175  supminfxrrnmpt  44181  stoweidlem27  44743  stoweidlem31  44747  stoweidlem35  44751  stirlinglem5  44794  stirlinglem13  44802  fourierdlem80  44902  fourierdlem93  44915  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  subsaliuncllem  45073  subsaliuncl  45074  sge0rnn0  45084  sge00  45092  fsumlesge0  45093  sge0tsms  45096  sge0cl  45097  sge0f1o  45098  sge0fsum  45103  sge0supre  45105  sge0rnbnd  45109  sge0pnffigt  45112  sge0lefi  45114  sge0ltfirp  45116  sge0resplit  45122  sge0split  45125  sge0reuz  45163  sge0reuzb  45164  hoidmvlelem2  45312  smfpimcc  45524