Theorem 0cnfn 32332

Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space functional. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnfn	⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn

Proof of Theorem 0cnfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11193	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	fconst6 6768	. 2 ⊢ ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ
3		1rp 13015	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		c0ex 11195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fvconst2 7202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑤) = 0)
6	4	fvconst2 7202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑥) = 0)
7	5, 6	oveqan12rd 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = (0 − 0))
8	7	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = (0 − 0))
9		0m0e0 12354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = 0)
11	10	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) = (abs‘0))
12		abs0 15332	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
13	11, 12	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) = 0)
14		rpgt0 13024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
15	14	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 0 < 𝑦)
16	13, 15	eqbrtrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)
17	16	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
18	17	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
19		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 1 → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1))
20	19	rspceaimv 3587	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
21	3, 18, 20	sylancr 598	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
22	21	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)
23		elcnfn 32234	. 2 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ ContFn ↔ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)))
24	2, 22, 23	mpbir2an 723	1 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {csn 4589   class class class wbr 5109   × cxp 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   < clt 11238   − cmin 11436  ℝ⁺crp 13011  abscabs 15281   ℋchba 31271  norm_ℎcno 31275   −_ℎ cmv 31277  ContFnccnfn 31305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-hilex 31351

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-cnfn 32199

This theorem is referenced by:  nmcfnex  32405  nmcfnlb  32406  riesz4  32416  riesz1  32417