HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0cnfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnfn 30971
Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space functional. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0cnfn ( β„‹ Γ— {0}) ∈ ContFn

Proof of Theorem 0cnfn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11155 . . 3 0 ∈ β„‚
21fconst6 6736 . 2 ( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚
3 1rp 12927 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 c0ex 11157 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
54fvconst2 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) = 0)
64fvconst2 7157 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
75, 6oveqan12rd 7381 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯)) = (0 βˆ’ 0))
87adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯)) = (0 βˆ’ 0))
9 0m0e0 12281 . . . . . . . . . 10 (0 βˆ’ 0) = 0
108, 9eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯)) = 0)
1110fveq2d 6850 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) = (absβ€˜0))
12 abs0 15179 . . . . . . . 8 (absβ€˜0) = 0
1311, 12eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) = 0)
14 rpgt0 12935 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑦)
1514ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ 0 < 𝑦)
1613, 15eqbrtrd 5131 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦)
1716a1d 25 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 1 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦))
1817ralrimiva 3140 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 1 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦))
19 breq2 5113 . . . . 5 (𝑧 = 1 β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 ↔ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 1))
2019rspceaimv 3587 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 1 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦))
213, 18, 20sylancr 588 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦))
2221rgen2 3191 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦)
23 elcnfn 30873 . 2 (( β„‹ Γ— {0}) ∈ ContFn ↔ (( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦)))
242, 22, 23mpbir2an 710 1 ( β„‹ Γ— {0}) ∈ ContFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {csn 4590   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   < clt 11197   βˆ’ cmin 11393  β„+crp 12923  abscabs 15128   β„‹chba 29910  normβ„Žcno 29914   βˆ’β„Ž cmv 29916  ContFnccnfn 29944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-hilex 29990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-cnfn 30838
This theorem is referenced by:  nmcfnex  31044  nmcfnlb  31045  riesz4  31055  riesz1  31056
  Copyright terms: Public domain W3C validator