HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0cnfn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0cnfn 31228
Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space functional. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0cnfn ( β„‹ Γ— {0}) ∈ ContFn
Proof of Theorem 0cnfn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11205 . . 3 0 ∈ β„‚
21fconst6 6781 . 2 ( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚
3 1rp 12977 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 c0ex 11207 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
54fvconst2 7204 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) = 0)
64fvconst2 7204 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
75, 6oveqan12rd 7428 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯)) = (0 βˆ’ 0))
87adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯)) = (0 βˆ’ 0))
9 0m0e0 12331 . . . . . . . . . 10 (0 βˆ’ 0) = 0
108, 9eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯)) = 0)
1110fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) = (absβ€˜0))
12 abs0 15231 . . . . . . . 8 (absβ€˜0) = 0
1311, 12eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) = 0)
14 rpgt0 12985 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑦)
1514ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ 0 < 𝑦)
1613, 15eqbrtrd 5170 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦)
1716a1d 25 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 1 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦))
1817ralrimiva 3146 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 1 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦))
19 breq2 5152 . . . . 5 (𝑧 = 1 β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 ↔ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 1))
2019rspceaimv 3617 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 1 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦))
213, 18, 20sylancr 587 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦))
2221rgen2 3197 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦)
23 elcnfn 31130 . 2 (( β„‹ Γ— {0}) ∈ ContFn ↔ (( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦)))
242, 22, 23mpbir2an 709 1 ( β„‹ Γ— {0}) ∈ ContFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {csn 4628   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11247   βˆ’ cmin 11443  β„+crp 12973  abscabs 15180   β„‹chba 30167  normβ„Žcno 30171   βˆ’β„Ž cmv 30173  ContFnccnfn 30201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-hilex 30247
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-cnfn 31095
This theorem is referenced by:  nmcfnex  31301  nmcfnlb  31302  riesz4  31312  riesz1  31313
  Copyright terms: Public domain W3C validator