HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0cnfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnfn 30338
Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space functional. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0cnfn ( ℋ × {0}) ∈ ContFn

Proof of Theorem 0cnfn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10968 . . 3 0 ∈ ℂ
21fconst6 6662 . 2 ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ
3 1rp 12733 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 c0ex 10970 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
54fvconst2 7076 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑤) = 0)
64fvconst2 7076 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑥) = 0)
75, 6oveqan12rd 7291 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = (0 − 0))
87adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = (0 − 0))
9 0m0e0 12093 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
108, 9eqtrdi 2796 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = 0)
1110fveq2d 6775 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) = (abs‘0))
12 abs0 14995 . . . . . . . 8 (abs‘0) = 0
1311, 12eqtrdi 2796 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) = 0)
14 rpgt0 12741 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
1514ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 0 < 𝑦)
1613, 15eqbrtrd 5101 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)
1716a1d 25 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
1817ralrimiva 3110 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
19 breq2 5083 . . . . 5 (𝑧 = 1 → ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 ↔ (norm‘(𝑤 𝑥)) < 1))
2019rspceaimv 3566 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
213, 18, 20sylancr 587 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
2221rgen2 3129 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)
23 elcnfn 30240 . 2 (( ℋ × {0}) ∈ ContFn ↔ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)))
242, 22, 23mpbir2an 708 1 ( ℋ × {0}) ∈ ContFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  wrex 3067  {csn 4567   class class class wbr 5079   × cxp 5588  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  cc 10870  0cc0 10872  1c1 10873   < clt 11010  cmin 11205  +crp 12729  abscabs 14943  chba 29277  normcno 29281   cmv 29283  ContFnccnfn 29311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-hilex 29357
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-cnfn 30205
This theorem is referenced by:  nmcfnex  30411  nmcfnlb  30412  riesz4  30422  riesz1  30423
  Copyright terms: Public domain W3C validator