Theorem 0cnfn 31783

Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space functional. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnfn	⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn

Proof of Theorem 0cnfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11230	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	fconst6 6781	. 2 ⊢ ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ
3		1rp 13004	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		c0ex 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fvconst2 7210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑤) = 0)
6	4	fvconst2 7210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑥) = 0)
7	5, 6	oveqan12rd 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = (0 − 0))
8	7	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = (0 − 0))
9		0m0e0 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = 0)
11	10	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) = (abs‘0))
12		abs0 15258	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
13	11, 12	eqtrdi 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) = 0)
14		rpgt0 13012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
15	14	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 0 < 𝑦)
16	13, 15	eqbrtrd 5164	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)
17	16	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
18	17	ralrimiva 3142	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
19		breq2 5146	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 1 → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1))
20	19	rspceaimv 3614	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
21	3, 18, 20	sylancr 586	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
22	21	rgen2 3193	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)
23		elcnfn 31685	. 2 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ ContFn ↔ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)))
24	2, 22, 23	mpbir2an 710	1 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  ∃wrex 3066  {csn 4624   class class class wbr 5142   × cxp 5670  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   < clt 11272   − cmin 11468  ℝ⁺crp 13000  abscabs 15207   ℋchba 30722  norm_ℎcno 30726   −_ℎ cmv 30728  ContFnccnfn 30756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-hilex 30802

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-cnfn 31650

This theorem is referenced by:  nmcfnex  31856  nmcfnlb  31857  riesz4  31867  riesz1  31868