Theorem 0cnfn 30342

Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space functional. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnfn	⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn

Proof of Theorem 0cnfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10967	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	fconst6 6664	. 2 ⊢ ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ
3		1rp 12734	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		c0ex 10969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fvconst2 7079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑤) = 0)
6	4	fvconst2 7079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑥) = 0)
7	5, 6	oveqan12rd 7295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = (0 − 0))
8	7	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = (0 − 0))
9		0m0e0 12093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = 0)
11	10	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) = (abs‘0))
12		abs0 14997	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
13	11, 12	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) = 0)
14		rpgt0 12742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
15	14	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 0 < 𝑦)
16	13, 15	eqbrtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)
17	16	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
18	17	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
19		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 1 → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1))
20	19	rspceaimv 3565	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
21	3, 18, 20	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
22	21	rgen2 3120	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)
23		elcnfn 30244	. 2 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ ContFn ↔ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)))
24	2, 22, 23	mpbir2an 708	1 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {csn 4561   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009   − cmin 11205  ℝ⁺crp 12730  abscabs 14945   ℋchba 29281  norm_ℎcno 29285   −_ℎ cmv 29287  ContFnccnfn 29315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-hilex 29361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-cnfn 30209

This theorem is referenced by:  nmcfnex  30415  nmcfnlb  30416  riesz4  30426  riesz1  30427