HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0cnfn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0cnfn 31705
Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space functional. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0cnfn ( β„‹ Γ— {0}) ∈ ContFn
Proof of Theorem 0cnfn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11204 . . 3 0 ∈ β„‚
21fconst6 6772 . 2 ( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚
3 1rp 12976 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 c0ex 11206 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
54fvconst2 7198 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) = 0)
64fvconst2 7198 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
75, 6oveqan12rd 7422 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯)) = (0 βˆ’ 0))
87adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯)) = (0 βˆ’ 0))
9 0m0e0 12330 . . . . . . . . . 10 (0 βˆ’ 0) = 0
108, 9eqtrdi 2780 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯)) = 0)
1110fveq2d 6886 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) = (absβ€˜0))
12 abs0 15230 . . . . . . . 8 (absβ€˜0) = 0
1311, 12eqtrdi 2780 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) = 0)
14 rpgt0 12984 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑦)
1514ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ 0 < 𝑦)
1613, 15eqbrtrd 5161 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦)
1716a1d 25 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 1 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦))
1817ralrimiva 3138 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 1 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦))
19 breq2 5143 . . . . 5 (𝑧 = 1 β†’ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 ↔ (normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 1))
2019rspceaimv 3610 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 1 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦))
213, 18, 20sylancr 586 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦))
2221rgen2 3189 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦)
23 elcnfn 31607 . 2 (( β„‹ Γ— {0}) ∈ ContFn ↔ (( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑧 β†’ (absβ€˜((( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘€) βˆ’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘₯))) < 𝑦)))
242, 22, 23mpbir2an 708 1 ( β„‹ Γ— {0}) ∈ ContFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  {csn 4621   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   < clt 11246   βˆ’ cmin 11442  β„+crp 12972  abscabs 15179   β„‹chba 30644  normβ„Žcno 30648   βˆ’β„Ž cmv 30650  ContFnccnfn 30678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-hilex 30724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-cnfn 31572
This theorem is referenced by:  nmcfnex  31778  nmcfnlb  31779  riesz4  31789  riesz1  31790
  Copyright terms: Public domain W3C validator