Theorem 0cnfn 32582

Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space functional. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0cnfn	⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn

Proof of Theorem 0cnfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11298	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	fconst6 6772	. 2 ⊢ ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ
3		1rp 13124	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		c0ex 11300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fvconst2 7210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑤) = 0)
6	4	fvconst2 7210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑥) = 0)
7	5, 6	oveqan12rd 7440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = (0 − 0))
8	7	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = (0 − 0))
9		0m0e0 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥)) = 0)
11	10	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) = (abs‘0))
12		abs0 15452	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
13	11, 12	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) = 0)
14		rpgt0 13133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
15	14	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 0 < 𝑦)
16	13, 15	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)
17	16	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
18	17	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
19		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 1 → ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1))
20	19	rspceaimv 3583	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 1 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
21	3, 18, 20	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦))
22	21	rgen2 3203	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)
23		elcnfn 32484	. 2 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ ContFn ↔ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((( ℋ × {0})‘𝑤) − (( ℋ × {0})‘𝑥))) < 𝑦)))
24	2, 22, 23	mpbir2an 724	1 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ ContFn

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   < clt 11343   − cmin 11541  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401   ℋchba 31521  norm_ℎcno 31525   −_ℎ cmv 31527  ContFnccnfn 31555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-hilex 31601

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-cnfn 32449

This theorem is used by:  nmcfnex  32655  nmcfnlb  32656  riesz4  32666  riesz1  32667