Theorem lnfnconi 29469

Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfncon.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnconi	⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnfnconi

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncon.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2		nmcfnex 29467	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 683	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ContFn → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
4		nmcfnlb 29468	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
5	1, 4	mp3an1 1578	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
6	1	lnfnfi 29455	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
7		elcnfn 29296	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑧)))
8	6, 7	mpbiran 702	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑧))
9	6	ffvelrni 6607	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℂ)
10	9	abscld 14552	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
11	1	lnfnsubi 29460	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) = ((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥)))
12	3, 5, 8, 10, 11	lnconi 29447	1 ⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117  ∃wrex 3118   class class class wbr 4873  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251   · cmul 10257   < clt 10391   ≤ cle 10392   − cmin 10585  ℝ⁺crp 12112  abscabs 14351   ℋchba 28331  norm_ℎcno 28335   −_ℎ cmv 28337  norm_fncnmf 28363  ContFnccnfn 28365  LinFnclf 28366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-hilex 28411  ax-hfvadd 28412  ax-hv0cl 28415  ax-hvaddid 28416  ax-hfvmul 28417  ax-hvmulid 28418  ax-hvmulass 28419  ax-hvmul0 28422  ax-hfi 28491  ax-his1 28494  ax-his3 28496  ax-his4 28497

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-hnorm 28380  df-hvsub 28383  df-nmfn 29259  df-cnfn 29261  df-lnfn 29262

This theorem is referenced by:  lnfncon  29470