Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnconi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnconi 29841
 Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfncon.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnconi (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnfnconi
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncon.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
2 nmcfnex 29839 . . 3 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn𝑇) ∈ ℝ)
31, 2mpan 689 . 2 (𝑇 ∈ ContFn → (normfn𝑇) ∈ ℝ)
4 nmcfnlb 29840 . . 3 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦)))
51, 4mp3an1 1445 . 2 ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦)))
61lnfnfi 29827 . . 3 𝑇: ℋ⟶ℂ
7 elcnfn 29668 . . 3 (𝑇 ∈ ContFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑤) − (𝑇𝑥))) < 𝑧)))
86, 7mpbiran 708 . 2 (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑤) − (𝑇𝑥))) < 𝑧))
96ffvelrni 6831 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℂ)
109abscld 14791 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
111lnfnsubi 29832 . 2 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑤 𝑥)) = ((𝑇𝑤) − (𝑇𝑥)))
123, 5, 8, 10, 11lnconi 29819 1 (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   class class class wbr 5033  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℝ+crp 12381  abscabs 14588   ℋchba 28705  normℎcno 28709   −ℎ cmv 28711  normfncnmf 28737  ContFnccnfn 28739  LinFnclf 28740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvmulass 28793  ax-hvmul0 28796  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his3 28870  ax-his4 28871 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-hnorm 28754  df-hvsub 28757  df-nmfn 29631  df-cnfn 29633  df-lnfn 29634 This theorem is referenced by:  lnfncon  29842
 Copyright terms: Public domain W3C validator