HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnconi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnconi 31858
Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfncon.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnconi (𝑇 ∈ ContFn ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnfnconi
Dummy variables 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncon.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
2 nmcfnex 31856 . . 3 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) β†’ (normfnβ€˜π‘‡) ∈ ℝ)
31, 2mpan 689 . 2 (𝑇 ∈ ContFn β†’ (normfnβ€˜π‘‡) ∈ ℝ)
4 nmcfnlb 31857 . . 3 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ ((normfnβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
51, 4mp3an1 1445 . 2 ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ ((normfnβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
61lnfnfi 31844 . . 3 𝑇: β„‹βŸΆβ„‚
7 elcnfn 31685 . . 3 (𝑇 ∈ ContFn ↔ (𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘₯))) < 𝑧)))
86, 7mpbiran 708 . 2 (𝑇 ∈ ContFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘₯))) < 𝑧))
96ffvelcdmi 7087 . . 3 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
109abscld 15409 . 2 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
111lnfnsubi 31849 . 2 ((𝑀 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(𝑀 βˆ’β„Ž π‘₯)) = ((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘₯)))
123, 5, 8, 10, 11lnconi 31836 1 (𝑇 ∈ ContFn ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯ Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11130  β„cr 11131   Β· cmul 11137   < clt 11272   ≀ cle 11273   βˆ’ cmin 11468  β„+crp 13000  abscabs 15207   β„‹chba 30722  normβ„Žcno 30726   βˆ’β„Ž cmv 30728  normfncnmf 30754  ContFnccnfn 30756  LinFnclf 30757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-hilex 30802  ax-hfvadd 30803  ax-hv0cl 30806  ax-hvaddid 30807  ax-hfvmul 30808  ax-hvmulid 30809  ax-hvmulass 30810  ax-hvmul0 30813  ax-hfi 30882  ax-his1 30885  ax-his3 30887  ax-his4 30888
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-hnorm 30771  df-hvsub 30774  df-nmfn 31648  df-cnfn 31650  df-lnfn 31651
This theorem is referenced by:  lnfncon  31859
  Copyright terms: Public domain W3C validator