Theorem lnfnconi 31991

Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfncon.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnconi	⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnfnconi

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncon.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
2		nmcfnex 31989	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ContFn → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
4		nmcfnlb 31990	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
5	1, 4	mp3an1 1450	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
6	1	lnfnfi 31977	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
7		elcnfn 31818	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑧)))
8	6, 7	mpbiran 709	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑧))
9	6	ffvelcdmi 7058	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15412	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
11	1	lnfnsubi 31982	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) = ((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥)))
12	3, 5, 8, 10, 11	lnconi 31969	1 ⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℝ⁺crp 12958  abscabs 15207   ℋchba 30855  norm_ℎcno 30859   −_ℎ cmv 30861  norm_fncnmf 30887  ContFnccnfn 30889  LinFnclf 30890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his3 31020  ax-his4 31021

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-hnorm 30904  df-hvsub 30907  df-nmfn 31781  df-cnfn 31783  df-lnfn 31784

This theorem is referenced by:  lnfncon  31992