Theorem intrnfi 9374

Description: Sufficient condition for the intersection of the range of a function to be in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
intrnfi	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝐹 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem intrnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6699	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3	1	fdmd 6701	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	eqnetrd 2993	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → dom 𝐹 ≠ ∅)
6		dm0rn0 5891	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
7	6	necon3bii 2978	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
8	5, 7	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran 𝐹 ≠ ∅)
9		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
10	1	ffnd 6692	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐹 Fn 𝐴)
11		dffn4 6781	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
12	10, 11	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
13		fofi 9269	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
14	9, 12, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran 𝐹 ∈ Fin)
15	2, 8, 14	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin))
16		elfir 9373	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝐹 ∈ (fi‘𝐵))
17	15, 16	syldan 591	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝐹 ∈ (fi‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∩ cint 4913  dom cdm 5641  ran crn 5642   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  –onto→wfo 6512  ‘cfv 6514  Fincfn 8921  ficfi 9368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-en 8922  df-dom 8923  df-fin 8925  df-fi 9369

This theorem is referenced by:  iinfi  9375  firest  17402