Theorem intrnfi 9329

Description: Sufficient condition for the intersection of the range of a function to be in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
intrnfi	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝐹 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem intrnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6676	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3	1	fdmd 6678	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	eqnetrd 2999	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → dom 𝐹 ≠ ∅)
6		dm0rn0 5879	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
7	6	necon3bii 2984	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
8	5, 7	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran 𝐹 ≠ ∅)
9		simpr3 1198	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
10	1	ffnd 6669	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐹 Fn 𝐴)
11		dffn4 6758	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
12	10, 11	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
13		fofi 9223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
14	9, 12, 13	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran 𝐹 ∈ Fin)
15	2, 8, 14	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin))
16		elfir 9328	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝐹 ∈ (fi‘𝐵))
17	15, 16	syldan 592	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝐹 ∈ (fi‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∩ cint 4889  dom cdm 5631  ran crn 5632   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  –onto→wfo 6496  ‘cfv 6498  Fincfn 8893  ficfi 9323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-1o 8405  df-en 8894  df-dom 8895  df-fin 8897  df-fi 9324

This theorem is referenced by:  iinfi  9330  firest  17395