MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intrnfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem intrnfi 9447
Description: Sufficient condition for the intersection of the range of a function to be in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
intrnfi ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ∩ ran 𝐹 ∈ (fiβ€˜π΅))
Proof of Theorem intrnfi
StepHypRef Expression
1 simpr1 1191 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
21frnd 6735 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
31fdmd 6738 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
4 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
53, 4eqnetrd 3005 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ dom 𝐹 β‰  βˆ…)
6 dm0rn0 5931 . . . . 5 (dom 𝐹 = βˆ… ↔ ran 𝐹 = βˆ…)
76necon3bii 2990 . . . 4 (dom 𝐹 β‰  βˆ… ↔ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
85, 7sylib 217 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
9 simpr3 1193 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
101ffnd 6728 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
11 dffn4 6822 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
1210, 11sylib 217 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
13 fofi 9370 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
149, 12, 13syl2anc 582 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
152, 8, 143jca 1125 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ (ran 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ ran 𝐹 ∈ Fin))
16 elfir 9446 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (ran 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ ran 𝐹 ∈ Fin)) β†’ ∩ ran 𝐹 ∈ (fiβ€˜π΅))
1715, 16syldan 589 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ∩ ran 𝐹 ∈ (fiβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  βˆ© cint 4953  dom cdm 5682  ran crn 5683   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€“ontoβ†’wfo 6551  β€˜cfv 6553  Fincfn 8970  ficfi 9441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-fin 8974  df-fi 9442
This theorem is referenced by:  iinfi  9448  firest  17421
  Copyright terms: Public domain W3C validator