Theorem intrnfi 9325

Description: Sufficient condition for the intersection of the range of a function to be in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
intrnfi	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝐹 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem intrnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6664	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3	1	fdmd 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → dom 𝐹 ≠ ∅)
6		dm0rn0 5871	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
7	6	necon3bii 2977	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
8	5, 7	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran 𝐹 ≠ ∅)
9		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
10	1	ffnd 6657	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐹 Fn 𝐴)
11		dffn4 6746	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
12	10, 11	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
13		fofi 9220	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
14	9, 12, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran 𝐹 ∈ Fin)
15	2, 8, 14	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin))
16		elfir 9324	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝐹 ∈ (fi‘𝐵))
17	15, 16	syldan 591	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝐹 ∈ (fi‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∩ cint 4899  dom cdm 5623  ran crn 5624   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  –onto→wfo 6484  ‘cfv 6486  Fincfn 8879  ficfi 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7807  df-1o 8395  df-en 8880  df-dom 8881  df-fin 8883  df-fi 9320

This theorem is referenced by:  iinfi  9326  firest  17354