MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intrnfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem intrnfi 9410
Description: Sufficient condition for the intersection of the range of a function to be in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
intrnfi ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ∩ ran 𝐹 ∈ (fiβ€˜π΅))
Proof of Theorem intrnfi
StepHypRef Expression
1 simpr1 1191 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
21frnd 6718 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
31fdmd 6721 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
4 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
53, 4eqnetrd 3002 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ dom 𝐹 β‰  βˆ…)
6 dm0rn0 5917 . . . . 5 (dom 𝐹 = βˆ… ↔ ran 𝐹 = βˆ…)
76necon3bii 2987 . . . 4 (dom 𝐹 β‰  βˆ… ↔ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
85, 7sylib 217 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
9 simpr3 1193 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
101ffnd 6711 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
11 dffn4 6804 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
1210, 11sylib 217 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
13 fofi 9337 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
149, 12, 13syl2anc 583 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
152, 8, 143jca 1125 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ (ran 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ ran 𝐹 ∈ Fin))
16 elfir 9409 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (ran 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ ran 𝐹 ∈ Fin)) β†’ ∩ ran 𝐹 ∈ (fiβ€˜π΅))
1715, 16syldan 590 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ∩ ran 𝐹 ∈ (fiβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  βˆ© cint 4943  dom cdm 5669  ran crn 5670   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€“ontoβ†’wfo 6534  β€˜cfv 6536  Fincfn 8938  ficfi 9404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-fin 8942  df-fi 9405
This theorem is referenced by:  iinfi  9411  firest  17384
  Copyright terms: Public domain W3C validator