MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intrnfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem intrnfi 9410
Description: Sufficient condition for the intersection of the range of a function to be in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
intrnfi ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ∩ ran 𝐹 ∈ (fiβ€˜π΅))
Proof of Theorem intrnfi
StepHypRef Expression
1 simpr1 1194 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
21frnd 6725 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
31fdmd 6728 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
4 simpr2 1195 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
53, 4eqnetrd 3008 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ dom 𝐹 β‰  βˆ…)
6 dm0rn0 5924 . . . . 5 (dom 𝐹 = βˆ… ↔ ran 𝐹 = βˆ…)
76necon3bii 2993 . . . 4 (dom 𝐹 β‰  βˆ… ↔ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
85, 7sylib 217 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
9 simpr3 1196 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
101ffnd 6718 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
11 dffn4 6811 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
1210, 11sylib 217 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
13 fofi 9337 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
149, 12, 13syl2anc 584 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
152, 8, 143jca 1128 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ (ran 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ ran 𝐹 ∈ Fin))
16 elfir 9409 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (ran 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ ran 𝐹 ∈ Fin)) β†’ ∩ ran 𝐹 ∈ (fiβ€˜π΅))
1715, 16syldan 591 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ Fin)) β†’ ∩ ran 𝐹 ∈ (fiβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆ© cint 4950  dom cdm 5676  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  Fincfn 8938  ficfi 9404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-fin 8942  df-fi 9405
This theorem is referenced by:  iinfi  9411  firest  17377
  Copyright terms: Public domain W3C validator