Theorem intrnfi 9175

Description: Sufficient condition for the intersection of the range of a function to be in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
intrnfi	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝐹 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem intrnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1193	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	frnd 6608	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3	1	fdmd 6611	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4		simpr2 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	eqnetrd 3011	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → dom 𝐹 ≠ ∅)
6		dm0rn0 5834	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ ↔ ran 𝐹 = ∅)
7	6	necon3bii 2996	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ ↔ ran 𝐹 ≠ ∅)
8	5, 7	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran 𝐹 ≠ ∅)
9		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
10	1	ffnd 6601	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐹 Fn 𝐴)
11		dffn4 6694	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
12	10, 11	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
13		fofi 9105	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹) → ran 𝐹 ∈ Fin)
14	9, 12, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ran 𝐹 ∈ Fin)
15	2, 8, 14	3jca 1127	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin))
16		elfir 9174	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝐹 ∈ (fi‘𝐵))
17	15, 16	syldan 591	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ ran 𝐹 ∈ (fi‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∩ cint 4879  dom cdm 5589  ran crn 5590   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  –onto→wfo 6431  ‘cfv 6433  Fincfn 8733  ficfi 9169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-fin 8737  df-fi 9170

This theorem is referenced by:  iinfi  9176  firest  17143