Theorem ssfii 9332

Description: Any element of a set 𝐴 is the intersection of a finite subset of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfii	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem ssfii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3433	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	intsn 4926	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑥} = 𝑥
3		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	snssd 4730	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
6	1	snnz 4720	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ≠ ∅)
8		snfi 8990	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ Fin)
10		elfir 9328	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑥} ≠ ∅ ∧ {𝑥} ∈ Fin)) → ∩ {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
11	3, 5, 7, 9, 10	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
12	2, 11	eqeltrrid 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴))
13	12	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴)))
14	13	ssrdv 3927	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567  ∩ cint 4889  ‘cfv 6498  Fincfn 8893  ficfi 9323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-1o 8405  df-en 8894  df-fin 8897  df-fi 9324

This theorem is referenced by:  fieq0  9334  dffi2  9336  inficl  9338  fiuni  9341  dffi3  9344  inffien  9985  fictb  10166  ordtbas2  23156  ordtbas  23157  ordtopn1  23159  ordtopn2  23160  leordtval2  23177  subbascn  23219  2ndcsb  23414  ptbasfi  23546  xkoopn  23554  fsubbas  23832  fbunfip  23834  isufil2  23873  ufileu  23884  filufint  23885  fmfnfmlem4  23922  fmfnfm  23923  hausflim  23946  flimclslem  23949  fclsfnflim  23992  flimfnfcls  23993  fclscmp  23995  alexsubb  24011  alexsubALTlem4  24015  ordtconnlem1  34068  topjoin  36547