MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfii 9457
Description: Any element of a set 𝐴 is the intersection of a finite subset of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfii (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem ssfii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3482 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21intsn 4989 . . . 4 {𝑥} = 𝑥
3 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝐴𝑉)
4 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
54snssd 4814 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
61snnz 4781 . . . . . 6 {𝑥} ≠ ∅
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ≠ ∅)
8 snfi 9082 . . . . . 6 {𝑥} ∈ Fin
98a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ Fin)
10 elfir 9453 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑥} ≠ ∅ ∧ {𝑥} ∈ Fin)) → {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
113, 5, 7, 9, 10syl13anc 1371 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
122, 11eqeltrrid 2844 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴))
1312ex 412 . 2 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (fi‘𝐴)))
1413ssrdv 4001 1 (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   cint 4951  cfv 6563  Fincfn 8984  ficfi 9448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449
This theorem is referenced by:  fieq0  9459  dffi2  9461  inficl  9463  fiuni  9466  dffi3  9469  inffien  10101  fictb  10282  ordtbas2  23215  ordtbas  23216  ordtopn1  23218  ordtopn2  23219  leordtval2  23236  subbascn  23278  2ndcsb  23473  ptbasfi  23605  xkoopn  23613  fsubbas  23891  fbunfip  23893  isufil2  23932  ufileu  23943  filufint  23944  fmfnfmlem4  23981  fmfnfm  23982  hausflim  24005  flimclslem  24008  fclsfnflim  24051  flimfnfcls  24052  fclscmp  24054  alexsubb  24070  alexsubALTlem4  24074  ordtconnlem1  33885  topjoin  36348
  Copyright terms: Public domain W3C validator