MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfii 8567
Description: Any element of a set 𝐴 is the intersection of a finite subset of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfii (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem ssfii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3388 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21intsn 4703 . . . 4 {𝑥} = 𝑥
3 simpl 475 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝐴𝑉)
4 simpr 478 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
54snssd 4528 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
61snnz 4497 . . . . . 6 {𝑥} ≠ ∅
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ≠ ∅)
8 snfi 8280 . . . . . 6 {𝑥} ∈ Fin
98a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ Fin)
10 elfir 8563 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑥} ≠ ∅ ∧ {𝑥} ∈ Fin)) → {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
113, 5, 7, 9, 10syl13anc 1492 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
122, 11syl5eqelr 2883 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴))
1312ex 402 . 2 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (fi‘𝐴)))
1413ssrdv 3804 1 (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wcel 2157  wne 2971  wss 3769  c0 4115  {csn 4368   cint 4667  cfv 6101  Fincfn 8195  ficfi 8558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-1o 7799  df-en 8196  df-fin 8199  df-fi 8559
This theorem is referenced by:  fieq0  8569  dffi2  8571  inficl  8573  fiuni  8576  dffi3  8579  inffien  9172  fictb  9355  ordtbas2  21324  ordtbas  21325  ordtopn1  21327  ordtopn2  21328  leordtval2  21345  subbascn  21387  2ndcsb  21581  ptbasfi  21713  xkoopn  21721  fsubbas  21999  fbunfip  22001  isufil2  22040  ufileu  22051  filufint  22052  fmfnfmlem4  22089  fmfnfm  22090  hausflim  22113  flimclslem  22116  fclsfnflim  22159  flimfnfcls  22160  fclscmp  22162  alexsubb  22178  alexsubALTlem4  22182  ordtconnlem1  30486  topjoin  32872
  Copyright terms: Public domain W3C validator