MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfii 8479
Description: Any element of a set 𝐴 is the intersection of a finite subset of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfii (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem ssfii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3354 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21intsn 4647 . . . 4 {𝑥} = 𝑥
3 simpl 468 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝐴𝑉)
4 simpr 471 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
54snssd 4475 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
61snnz 4444 . . . . . 6 {𝑥} ≠ ∅
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ≠ ∅)
8 snfi 8192 . . . . . 6 {𝑥} ∈ Fin
98a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ Fin)
10 elfir 8475 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑥} ≠ ∅ ∧ {𝑥} ∈ Fin)) → {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
113, 5, 7, 9, 10syl13anc 1478 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
122, 11syl5eqelr 2855 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴))
1312ex 397 . 2 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (fi‘𝐴)))
1413ssrdv 3758 1 (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  wne 2943  wss 3723  c0 4063  {csn 4316   cint 4611  cfv 6029  Fincfn 8107  ficfi 8470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-om 7211  df-1o 7711  df-en 8108  df-fin 8111  df-fi 8471
This theorem is referenced by:  fieq0  8481  dffi2  8483  inficl  8485  fiuni  8488  dffi3  8491  inffien  9084  fictb  9267  ordtbas2  21209  ordtbas  21210  ordtopn1  21212  ordtopn2  21213  leordtval2  21230  subbascn  21272  2ndcsb  21466  ptbasfi  21598  xkoopn  21606  fsubbas  21884  fbunfip  21886  isufil2  21925  ufileu  21936  filufint  21937  fmfnfmlem4  21974  fmfnfm  21975  hausflim  21998  flimclslem  22001  fclsfnflim  22044  flimfnfcls  22045  fclscmp  22047  alexsubb  22063  alexsubALTlem4  22067  ordtconnlem1  30303  topjoin  32690
  Copyright terms: Public domain W3C validator