Theorem ssfii 9329

Description: Any element of a set 𝐴 is the intersection of a finite subset of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfii	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem ssfii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3436	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	intsn 4921	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑥} = 𝑥
3		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	snssd 4725	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
6	1	snnz 4715	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ≠ ∅)
8		snfi 8987	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ Fin)
10		elfir 9325	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑥} ≠ ∅ ∧ {𝑥} ∈ Fin)) → ∩ {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
11	3, 5, 7, 9, 10	syl13anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ {𝑥} ∈ (fi‘𝐴))
12	2, 11	eqeltrrid 2845	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴))
13	12	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (fi‘𝐴)))
14	13	ssrdv 3928	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {csn 4562  ∩ cint 4884  ‘cfv 6492  Fincfn 8890  ficfi 9320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7814  df-1o 8402  df-en 8891  df-fin 8894  df-fi 9321

This theorem is referenced by:  fieq0  9331  dffi2  9333  inficl  9335  fiuni  9338  dffi3  9341  inffien  9983  fictb  10164  ordtbas2  23181  ordtbas  23182  ordtopn1  23184  ordtopn2  23185  leordtval2  23202  subbascn  23244  2ndcsb  23439  ptbasfi  23571  xkoopn  23579  fsubbas  23857  fbunfip  23859  isufil2  23898  ufileu  23909  filufint  23910  fmfnfmlem4  23947  fmfnfm  23948  hausflim  23971  flimclslem  23974  fclsfnflim  24017  flimfnfcls  24018  fclscmp  24020  alexsubb  24036  alexsubALTlem4  24040  ordtconnlem1  34115  topjoin  36600