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Theorem elkgen 23360
Description: Value of the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
elkgen (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐽   π‘˜,𝑋
Proof of Theorem elkgen
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgenval 23359 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))})
21eleq2d 2818 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ 𝐴 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))}))
3 ineq1 4205 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) = (𝐴 ∩ π‘˜))
43eleq1d 2817 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ↔ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
54imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) ↔ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
65ralbidv 3176 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
76elrab 3683 . . 3 (𝐴 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
8 toponmax 22748 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
9 elpw2g 5344 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 βŠ† 𝑋))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 βŠ† 𝑋))
1110anbi1d 629 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))) ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
127, 11bitrid 283 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))} ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
132, 12bitrd 279 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   β†Ύt crest 17373  TopOnctopon 22732  Compccmp 23210  π‘˜Genckgen 23357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7415  df-top 22716  df-topon 22733  df-kgen 23358
This theorem is referenced by:  kgeni  23361  kgentopon  23362  kgenss  23367  kgenidm  23371  iskgen3  23373  kgen2ss  23379  kgencn  23380  kgencn3  23382  txkgen  23476
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