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Theorem elkgen 22964
Description: Value of the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
elkgen (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐽   π‘˜,𝑋
Proof of Theorem elkgen
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgenval 22963 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))})
21eleq2d 2818 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ 𝐴 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))}))
3 ineq1 4198 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) = (𝐴 ∩ π‘˜))
43eleq1d 2817 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜) ↔ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))
54imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) ↔ ((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
65ralbidv 3176 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
76elrab 3676 . . 3 (𝐴 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))))
8 toponmax 22352 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
9 elpw2g 5334 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 βŠ† 𝑋))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 βŠ† 𝑋))
1110anbi1d 630 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))) ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
127, 11bitrid 282 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (π‘₯ ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜))} ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
132, 12bitrd 278 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝒫 𝑋((𝐽 β†Ύt π‘˜) ∈ Comp β†’ (𝐴 ∩ π‘˜) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3060  {crab 3429   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4593  β€˜cfv 6529  (class class class)co 7390   β†Ύt crest 17345  TopOnctopon 22336  Compccmp 22814  π‘˜Genckgen 22961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fv 6537  df-ov 7393  df-top 22320  df-topon 22337  df-kgen 22962
This theorem is referenced by:  kgeni  22965  kgentopon  22966  kgenss  22971  kgenidm  22975  iskgen3  22977  kgen2ss  22983  kgencn  22984  kgencn3  22986  txkgen  23080
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